Zeige folgende Abschätzung "Integral von 0 bis 1(|f'(x)-f(x)|dx) >= 1/e"

Question

Es sei f: [0,1] --> |R stetig differenzierbar mit f(0)=0 und f(1) = 1 und F: [0,1] -->|R, F(x)=f(x)e^-x

Zeige folgende abschätzung (S=Integral, weis ned wie man das Zeichen macht XD)

S von 0 bis 1(|f'(x)-f(x)|dx) >= 1/e

Mein Ansatz: Aufgeleitet ist f'(x) : f(x) und f(x): f(x)e^-x

daraus folgt:    |f(1) - f(1)e^-x-(f(0)-(f(0)e^-x)| >= 1/e

beim einsetzen kommt dann raus |1-e^-x-0-0|>= 1/e

                                                          |1-e^-x| >= 1/e             und das stimmt ja nicht oder?

Comments

Löse die DGL  F' = f  unter der Bedingung  f(1) = 1  und erhalte  f(0) ≈ 0,066.

---

in der aufgabenstellung heißt es doch schon dass f(0) = 0

Answer 1

Also ich hab das aktuell genauso, und bin mir nicht sicher ob das wirklich so einfach sein kann.

Sollte das allerdings stimmen, dann müsstest du doch wenn F(x) := f(x)e^-x ist auch 1 bzw. 0 bei dem x von e^-x

einsetzen.

Dann kommt bei mir nämlich die gültige Aussage:

1 - e^-1 ≥ e^-1

raus.