Integral Rechnung mit Abschätzung

Question

Aufgabe: Schätzen Sie ohne explizite Berechnung des Integrals ab:

$$ \int\limits_0^1 \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x+1}}\text{dx} $$

Gilt auch die schärfere Abschätzung mit \(\leq \frac{1}{3}\).

Problem/Ansatz: Mein Ansatz ist, dass es immer kleiner ist als Integral \(\int\limits_0^1 \sqrt{x}\text{ dx}\) und dann kommt man direkt auf \(\frac{2}{3}\). Mein Problem ist nur, dass ich damit ja trotzdem das Integral berechne.

Comments

Eine Abschätzung ohne Integrale: Offenbar liegt das Dreieck mit den Eckpunkten (0|0), (1,0), (1,1/√2) komplett innerhalb der fraglichen Fläche. Daher gilt
\(\displaystyle\int_0^1\sqrt\frac x{1+x}\,\mathrm dx>\frac12\cdot1\cdot\sqrt\frac12=\sqrt\frac18>\sqrt\frac19=\frac13\).
~plot~ sqrt(x/(1+x));x/sqrt(2);x=1;[[0|9/8|0|3/4]] ~plot~

Answer 1

Deine Abschätzung ist in Ordnung.

Du berechnest dadurch nicht das gegebene Integral (was deutlich schwieriger ist) sondern ein viel einfacheres Integral, welches dir dann eine obere Schranke gibt. Also alles schick.

Ergänzung zur Nachfrage:

$$\int_0^1 \frac{\sqrt x}{\sqrt{x+1}}dx \geq \int_0^1 \frac{x}{\sqrt{2}}dx=\frac 1{2\sqrt 2} \geq \frac 13\text{ denn } \frac 32 > \sqrt 2$$

Comments

Das wirkliche Integral ergibt ja

\( \int \limits_{0}^{1} \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x+1}} d x=\sqrt{2}-\sinh ^{-1}(1) \approx 0.53284 \)

Also eben weniger als 2/3.

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Okay, perfekt. Aber wie zeige ich, ohne explizite Berechnung des Integrals, das es mit <= 1/3 nicht gilt?

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∫ (0 bis 1) √(x/4) dx = 1/3

Nun gilt aber

√(x/(x + 1)) ≥ √(x/4) für x innerhalb der Integrationsgrenzen.

Wenn man eine untere Grenze haben möchte, könnte man

∫ (0 bis 1) √(x/2) dx = √2/3 = 0.4714045207 benutzen.

Es kann also in keinem Fall hierunter und damit auch nicht unter 1/3 liegen.

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Okay, aber wie soll man darauf so schnell kommen, wir sollen ja das Integral benutzen, und die erste Abschätzung war ja okay zu bestimmen, aber die die du jetzt hast, wie soll man darauf so schnell kommen, geht es auch anders, also eine andere Abschätzung?

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@ xx3xx44

Es gibt sicherlich verschiedene Abschätzungen. Hier ist nur entscheidend, dass sie funktionieren.

Beim Abschätzen versucht man den Integranden so zu vereinfachen, dass das Integrieren schnell und einfach geht.

Siehe meine Ergänzung zur Lösung.

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Ich bitte dich. Mehr als das Integral von √x brauchst du nicht. das andere sind doch nur lineare Vielfache davon:

∫ (0 bis 1) √(x/4) dx = 1/2 * ∫ (0 bis 1) √x dx = 1/2 * 2/3 = 1/3

∫ (0 bis 1) √(x/2) dx = 1/√2 * ∫ (0 bis 1) √x dx = √2/2 * 2/3 = √2/3

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@Mathecoach
Bittest du mich? :-)

Einfach locker bleiben.

La vida es un carnaval.

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@trancelocation

Das bezog sich auf

Okay, aber wie soll man darauf so schnell kommen, wir sollen ja das Integral benutzen, und die erste Abschätzung war ja okay zu bestimmen, aber die die du jetzt hast, wie soll man darauf so schnell kommen, geht es auch anders, also eine andere Abschätzung?

und nicht auf Dich.

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Hier meine Antwort auf "... wie soll man darauf so schnell kommen"

Üben! Erfahrungen sammeln.

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Man sollte es sich grafisch Darstellen um es besser zu verstehen. Es geht darum, die gefärbte Fläche abzuschätzen.

Die Fläche unter dem roten Graphen, wäre das Integral von √x. das sind die 2/3.

Nun war die Frage warum man es nicht mit <= 1/3 abschätzen kann. Das wäre ja ein halb so großer Wert wie das Integral von √x also das Integral von 1/2*√x = √(x/4). Nun weiß man aber das sicher alle Funktionswerte im Intervall [0 ; 1 ] von √(x/(x + 1)) größer oder gleich √(x/4) sind und daher √(x/4) nie eine obere Abschätzung sein kann sondern nur eine Untere Abschätzung.

Answer 2

Hallo :-)

Ich kann folgende (schärfere) Abschätzung liefern. Habe mir mal den Spaß daraus gemacht zunächst die folgende Ungleichung zu zeigen: $$\forall x\in [0,1]:\quad \frac{36(x+1)^2}{(x+10)^2}\geq x. $$

Los geht es:

$$ \frac{36(x+1)^2}{(x+10)^2}=\frac{36x^2+72x+36}{x^2+20x+100}\stackrel{x^2\leq x, x\in [0,1]}{\geq } \frac{36x^2+72x+36}{x+20x+100}=\frac{36x^2+72x+36}{21x+100}\\[20pt]\stackrel{\text{Polynomdivision}}{=}\frac{36}{21}x+\frac{-\frac{2088}{21}x+36}{21x+100}\geq \frac{36}{21}x+\frac{-\frac{2100}{21}x+36}{21x+100}=\frac{36}{21}x+\frac{-100x+36}{21x+100}\\[20pt]=x+\left(\frac{15}{21}x+\frac{-100x+36}{21x+100}\right)=x+\frac{315x^2-600x+756}{441x+2100}\geq x+\frac{300x^2-600x+756}{441x+2100}\\[20pt]\geq x+\frac{300x^2-600x+300}{441x+2100}=x+\underbrace{\frac{300(x-1)^2}{441x+2100}}_{\geq 0}\geq x.$$

Also gilt für alle \(x\in [0,1]\) die Ungleichung \(\frac{36(x+1)^2}{(x+10)^2}\geq x\). Weitere Umformungen dieser Ungleichung ergeben:

$$  \frac{36(x+1)^2}{(x+10)^2}\geq x\\[20pt]\stackrel{x\in [0,1]}{\Leftrightarrow}\frac{6(x+1)}{x+10}\geq \sqrt{x}\\[20pt]\Leftrightarrow 6(x+1)\geq \sqrt{x}(x+10)\\[20pt]\Leftrightarrow 6\sqrt{x}(x+1)\geq x(x+10)\\[20pt]\stackrel{\text{beide Seiten durch 9}}{\Leftrightarrow}\frac{2}{3}\sqrt{x}(x+1)\geq \frac{1}{9}x(x+10)\\[20pt]\Leftrightarrow 0\geq \frac{10}{9}x-\frac{2}{3}x\sqrt{x}-\frac{2}{3}\sqrt{x}+\frac{1}{9}x^2=x-\frac{2}{3}x\sqrt{x}-\frac{2}{3}\sqrt{x}+\frac{1}{9}x+\frac{1}{9}x^2\\[20pt]\Leftrightarrow 1\geq x+1-\frac{2}{3}x\sqrt{x}-\frac{2}{3}\sqrt{x}+\frac{1}{9}x+\frac{1}{9}x^2=(x+1)\cdot \left(1-\frac{2}{3}\sqrt{x}+\frac{1}{9}x\right)\\[20pt]\Leftrightarrow \frac{1}{x+1}\geq 1-\frac{2}{3}\sqrt{x}+\frac{1}{9}x=\left(1-\frac{1}{3}\sqrt{x}\right)^2\\[20pt]\stackrel{x\in [0,1]}{\Leftrightarrow} \frac{1}{\sqrt{x+1}}\geq 1-\frac{1}{3}\sqrt{x}\\[20pt]\Leftrightarrow \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x+1}}\geq \sqrt{x}-\frac{1}{3}x $$

Das ergibt also folgende untere Abschätzung des gegebenen Integrals:

$$ \int\limits_0^1 \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x+1}}\text{dx}\geq \int\limits_0^1 \left(\sqrt{x}-\frac{1}{3}x\right)\text{dx}=\frac{1}{2}>\frac{1}{3}. $$