Vollständige Induktion - Bitte kurz drüberschauen

Question

Zeigen Sie mittels vollständiger Induktion, dass für all n∈ℕ^≥1 gilt:

\(\sum\limits_{i=1}^{n} i*2^i\) = (n-1)·2ⁿ⁺¹+2        [Editiert: i·2ⁱ  statt i·2i , Wolfgang]

IA: n=1

\(\sum\limits_{i=1}^{n} i*2^i\)  = (1-1)2¹⁺¹+2 =2

IV

\(\sum\limits_{i=1}^{n} i*2^i\)  = (n-1)2ⁿ⁺¹+2

IS: n->n+1

 \(\sum\limits_{i=1}^{n+1} i*2^i\)   

laut IV

= (n-1)2ⁿ⁺¹+2+(n+1*2ⁿ⁺¹)

= n2ⁿ⁺¹-2ⁿ⁺¹+2+(n+1)2ⁿ⁺¹

= nⁿ⁺¹+2+n2ⁿ⁺¹+2ⁿ⁺¹

= 3nⁿ⁺¹+2ⁿ⁺¹+2

= 5nⁿ⁺¹+2

wie gehts nun weiter?

Answer 1

= n2^{n+1}-2^{n+1}+2+(n+1)2^{n+1}

= n2^{n+1}-2^{n+1}+2+n2^{n+1} +2^{n+1}

= n2^{n+1}+2+n2^{n+1} 

= 2*n2^{n+1}+2

=n2^{n+2}+2

und das ist das, was die rechte Seite der IV

für n+1 statt n auch sagt.

Also fertig!

Answer 2

\(\sum\limits_{i=1}^{n} i*2i\)  =  (n-1)·2ⁿ⁺¹+ 2       für alle  n∈ℕ^≥1

ergibt für n = 3         28 = 34   , ist also falsch.

Nachtrag:

Habe bei Durchsicht deiner Rechnung gesehen, dass es wohl  \(\sum\limits_{i=1}^{n} i*2^i\) heißen soll.

Halte dich also an Mathef.

Gruß Wolfgang