∑k=1n1k≥n\sum_{k=1}^{n}{\frac{1}{\sqrt{k}}}\geq\sqrt{n}k=1∑nk1≥ndas soll bewiesen werden
IA ist klar und stimmt auch, wenn man 1 einsetzt
IV Annahme gilt für festes n
IS n -> n+1
∑k=1n+11k=∑k=1n1k+1n+1=(IV)n+1n+1≥n\sum_{k=1}^{n+1}{\frac{1}{\sqrt{k}}}= \sum_{k=1}^{n}{\frac{1}{\sqrt{k}}} + \frac{1}{\sqrt{n+1}} = (IV) \sqrt{n}+{\frac{1}{\sqrt{n+1}}}\geq \sqrt{n}k=1∑n+1k1=k=1∑nk1+n+11=(IV)n+n+11≥n
bin ich hier schon fertig?
!
Ist falsch. Da, wo die Induktionsvoraussetzung inverstiert wird, steht kein ===. Und ganz schlimm: Die Induktionsbehauptung endet auf …≥n+1\ldots\ge\sqrt{n\color{red}{+1}}…≥n+1.
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