Vollständige Induktion - bitte kurz checken ob das so passt...danke!

Question

Beh:

$$ \sum_{k=1}^{n}{\frac{1}{\sqrt{k}}}\geq \sqrt{n} $$

IA: n=1

rechte Seite:

$$ \sum_{k=1}^{1}{\frac{1}{\sqrt{k}}}= \frac{1}{\sqrt{1}}  $$

linke Seite:
$$\sqrt{1}$$

-->
$$\frac{1}{\sqrt{1}} \geq\sqrt{1}$$

IV:

$$ \sum_{k=1}^{n}{\frac{1}{\sqrt{k}}}\geq \sqrt{n} $$

IS: n --> n+1

$$ \sum_{k=1}^{n+1}{\frac{1}{\sqrt{k}}}= \sum_{k=1}^{n}{\frac{1}{\sqrt{k}}}+\frac{1}{\sqrt{n+1}} $$

InduktionsVoraussetzung:

$$ \sqrt{n}+\frac{1}{\sqrt{n+1}} \geq\sqrt{n+1}$$

Stimmt das so?

Answer 1

Soweit ist alles richtig.(Nun muss die letzte Ungleichung noch bewiesen werden).

Comments

und wie mach ich das?

mir fehlen an dieser Stelle alle Ideen...

Answer 2

Zu zeigen ist, dass

$$\sqrt{n}+\frac{1}{\sqrt{n+1}} \geq\sqrt{n+1}$$

$$\begin{aligned} \sqrt{n}+\frac{1}{\sqrt{n+1}} &\geq\sqrt{n+1} \quad &\left| \cdot \sqrt{n+1} \right.\\ \sqrt{n} \cdot \sqrt{n+1}+1 &\geq n+1 &\left| -1 \right. \\ \sqrt{n} \cdot \sqrt{n+1} &\geq n &\left| ^2 \right. \\ n \cdot (n+1) &\geq n^2 &\left| -n^2 \right.\\ n  &\geq 0 \end{aligned}$$ q.e.d.