Zeigen Sie: Für v, v' ∈ V gilt (v + U) ∩ (v' + U') ≠ ∅ ⇐⇒ v' − v ∈ U + U'

Question

Ich benötige Hilfe bei folgender Aufgabe.

Es sei V ein Vektorraum und seien U und U' zwei lineare Unterräume von V . Zeigen Sie: Für v, v' ∈ V gilt
(v + U) ∩ (v' + U') ≠ ∅ ⇐⇒ v' − v ∈ U + U'

Answer 1

==>  Sei x aus (v + U) ∩ (v' + U')

==> Es gibt u1 aus U und u2 aus U ' mit 

x= v+u1  und  x = v ' + u2 

==> v+u1   = v ' + u2 

==> v' -  v  =  u1 -  u2  ∈  U+U' .

Umgekehr: Sei v ' - v  ∈  U+U' 

==> Es gibt u1 aus U und u2 aus U ' mit 

              v ' - v  = u1 + u2 

==>   v - u1  = v ' + u2   

da mit u1 aber auch - u1 aus U ist, heißt das:

Das Element  v - u1    bzw.   v ' + u2    ist sowohl in 

v+U als auch in v ' + U ' .

Deren Schnitt also nicht leer.