Zeigen, dass für jedes paarweise disjunkte Mengensystem M mit |M| ≠ 1 gilt: ∩ M = ∅.

Question

Aufgabe:

Ein Mengensystem M über einer Grundmenge M heißt paarweise disjunkt, falls gilt:

∀ A, B ∈ M. (A = B) ∨ (A ∩ B = ∅).

1. Wie kann ich zeigen, dass für jedes paarweise disjunkte Mengensystem M mit |M| ≠ 1 gilt:    ∩ M = ∅.
Hinweis: Man muss die Eigenschaft für den Fall |M| ≥ 2 per Kontraposition beweisen.
Warum gilt die Eigenschaft im Allgemeinen nicht für einelementige Mengensysteme. Mit der Begründung!
2. Geben Sie ein unendliches Mengensystem M an, so dass ∩ M = ∅ gilt, aber A ∩ B ≠ ∅ für alle A, B ∈ M. Die Wahl der Begründung!

Comments

  ∩ M = ∅ ist sicher unvollständig.

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⋂ M ist die Menge aller x, so dass x ∈ A für alle A∈M ist.

Beispiel. ⋂ {{1,2,3}, {2,3,4}, {3,4,5}} = {3}.

Das Symbol ⋂ gibt es in der Symbolliste des Editors nicht, deshalb wurde wohl fälschlicherweise ∩ verwendet.

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Neuer Versuch:

Titel: Zeigen, dass für jedes paarweise disjunkte Mengensystem M mit |M| ≠ 1 gilt: ∩ M = ∅

Stichworte: mengenlehre,mengen,begründung

Aufgabe:

Ein Mengensystem M über einer Grundmenge N heißt paarweise disjunkt, falls gilt:
           ∀ A, B ∈ M. (A = B) ∨ (A ∩ B = ∅)

Problem/Ansatz:

1.Zeigen, dass für jedes paarweise disjunkte Mengensystem M  mit |M| ≠ 1 gilt: ∩ M = ∅

Hinweis: Beweisen Sie Eigenschaft für den Fall |M| ≥ 2 per Kontraposition!

2.Geben ein unendliches Mengensystem M an, so dass ∩ M = ∅ gilt, aber A ∩ B ≠  ∅ für
alle A, B ∈ M. Begründen die Wahl!

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Was genau soll an deiner ursprünglichen Fragestellung geändert werden?

Kein Grund gleich ein Duplikat einzustellen, nachdem du 2 Tage gewartet hast. Warte nun bitte einfach mal auf die Antwort von Oswald.

Answer 1

1) Ist x ∈ ⋂ M, dann ist x ∈ A für alle A ∈ M.

|M| ≥ 2 ist notwendig, weil {{1}} paarweise disjunkt ist.

2) M = {N | ∃ n ∈ ℕ: N = ℕ\{n}}

Comments

Können Sie genauer erklären?

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Erst ein mal etwas zum Thema Kontraposition:

Gegeben sind zwei Aussagen A und B.

Es soll A ⇒ B bewiesen werden.

Das kann man beweisen, indem man postuliert, dass A gilt und dann begründet warum dann auch B gelten muss.

Die Kontraposition von A ⇒ B lautet ¬B ⇒ ¬A. Die Aussage A ⇒ B ist äquivalent zu ihrer Kontraposition ¬B ⇒ ¬A. Um die Aussage A ⇒ B zu beweisen kann man deshalb auch den Weg gehen, dass man postuliert dass ¬B gilt und dann begründen, warum ¬A gilt (warum A dann also nicht gilt).

In deinem Fall lautet Aussage A

        "M ist ein paarweise disjunktes Mengensystem M und |M| ≠ 1".

Aussage B lautet

        "⋂ M = ∅".

Für die Kontraposition postuliere ich also, dass

        ⋂ M ≠ ∅

ist. Dann hat ⋂ M mindestens ein Element. Mit dem Teil "Ist x ∈ ⋂ M" habe ich mir ein solches Element herausgegriffen und es "x" genannt.

Ich habe geschlussfolgert, dass

(1)        x ∈ A für alle A ∈ M

ist, weil das laut Definition von ⋂ M so sein muss.

Jetzt nimmt man sich zwei Mengen P und Q aus M.

Wenn |M| = 1 ist, dann gilt |M| ≠ 1 nicht und somit gilt A auch nicht. Deshalb gilt ¬A, womit ¬B ⇒ ¬A gelten würde.

Wenn |M| ≠ 1 ist, dann kann man P und Q so wählen, dass P ≠ Q ist. Wegen (1) ist dann x ∈ P und x ∈ Q. Also sind P und Q nicht disjunkt. Also ist M nicht paarweise disjunkt. Damit gilt Aussage A wiederum nicht. Deshalb gilt ¬A, womit ¬B ⇒ ¬A gelten würde.

Weil es keine Alternativen zu |M| = 1 und |M| ≠ 1 gibt, gilt ¬B ⇒ ¬A uneingeschränkt. Wegen Kontraposition gilt dann auch A ⇒ B.

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Herzlichen Dank!

Könnten Sie vielleicht auch zweite Frage geanuer erklären?

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Mein Vorschlag für 2) ist offensichtlich, sobald man entschlüsselt hat, was

        {N | ∃ n ∈ ℕ: N = ℕ\{n}}

bedeutet.

\(\begin{aligned} \mathfrak{M} & :=\left\{ N|\exists n\in\mathbb{N}:N=\mathbb{N}\setminus\left\{ n\right\} \right\} \\ & =\left\{ \mathbb{N}\setminus\left\{ 1\right\} ,\mathbb{N}\setminus\left\{ 2\right\} ,\mathbb{N}\setminus\left\{ 3\right\} ,\dots\right\} \\ & =\left\{ \left\{ 2,3,4,5,\dots\right\} ,\left\{ 1,3,4,5,\dots\right\} ,\left\{ 1,2,4,5,\dots\right\} ,\dots\right\} \end{aligned}\)