Paarweise disjunkte Mengen angeben

Question

Aufgabe:

Geben Sie paarweise disjunkte Mengen {A_i | i ∈ ℕ} an, mit

U_{i gerade} A_i = {n ∈ ℕ | n ist ungerade}

U_{i ungerade} A_i = {n ∈ ℕ | n ist gerade}

\( \bigcup_{i=\text { gerade }} A_{i}=\{n \in \mathbb{N} \mid n= \) ungerade \( \} \)

\( \bigcup_{i=u n g e r a d e} A_{i}=\{n \in \mathbb{N} \mid n= \) gerade \( \} \)

Wenn ich das richtig verstanden habe, gilt paarweise disjunkt z.b für \( \mathrm{X} \) und \( \mathrm{Y} \) wenn \( X \cap Y=\{\} \) ist.

Ich habe mir mal folgenden Gedankenschritt gemacht. Aber ich weiss nicht wie weiter.

\( A_{0}=\{1,3,5, \ldots\} \)
\( A_{1}=\{0,2,4, \ldots\} \)
\( A_{0} \cap A_{1}=\{\} \)

Answer 1

du suchst eine Menge \( A_{2} \), die zu \( A_{0}, A_{1} \) paarweise disjunkt ist, d.h. \{\}\( =A_{2} \cap A_{0}=A_{2} \cap A_{1} \). Nichts hindert dich daran, von \( A_{2} \subset \mathbb{N} \) auszugehen.

Was folgt dann aus \( A_{2}=A_{2} \cap \mathbb{N}=A_{2} \cap\left(A_{0} \cup A_{1}\right) ? \)

Wie kannst du also alle Mengen \( A_{i}, i \geq 2 \) wählen?

Du sollst paarweise disjunkte Mengen A_i finden. A_0 und A_1 hast du schon. Ich habe nur aufgeschrieben, was eine Menge A_2 notwendigerweise erfüllen muss, wenn A_0, A_1, A_2 paarweise disjunkt sein sollen.

Wenn \( A_{0} \) alle ungeraden und \( A_{1} \) alle geraden Zahlen sind, dann bleibt für \( A_{i} i \geq 2 \) nichts mehr übrig. Die übrigen \( A_i \) sind einfach leer.

Lösung:

\( A_{0}=\{1,3,5, \ldots\} \)

\( A_{1}=\{0,2,4, \ldots\} \)

\( A_{i}=\{\}, i \geq 2 \)