Zwei Orthonormalbasen von R^n mit f(vi) = wi

Question

Hallo Kann mir jemand kurz beim Bewies von diesem Satz helfen? Danke.
Es seien A=(v1,. . . , vn) und B=(w1,. . . , wn) zwei Orthonormalbasen von Rn.
Beweisen Sie, dass es genau eine orthogonale Abbildung f:Rn → Rn mit f(vi) = wi
für alle i=1,. . . ,n gib

Danke in Voraus 

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Was willst Du wissen? \(f\) ist gegeben, und Du sollst nachrechnen, dass \(f\) orthogonal ist.

https://de.wikipedia.org/wiki/Orthogonale_Abbildung#Definition

Answer 1

Zunächst mal ist doch klar:

Eine lineare Abbildung (das ist doch wohl vorausgesetzt)

ist durch die Angabe der Werte für ihre Basisvektoren 

festgelegt. Es gibt also genau eine lin. Abb.

f:Rⁿ → Rⁿ mit f(vi) = wi für alle i=1,. . . ,n.

Diese ist orthogonal, weil für zwei Elemente u,v aus Rⁿ ,

die bzgl der Basis A die Darstellungen 

u = ∑ (i=1 bis n) a_ivi  und v = ∑ (j=1 bis n) b_jv_j haben,

gilt (wenn <...,..> das benutzte Skalarprodukt ist ) 

< f(u),f(v) > =  < f( ∑ (i=1 bis n) aivi ),f( ∑ (j=1 bis n) bjvj ) >

 (wegen der Linearität von f

=< ∑ (i=1 bis n) ai*f(vi) ),∑ (j=1 bis n) bj*f(vj ) >

(nach Vor: )

=< ∑ (i=1 bis n) ai*wi ),∑ (j=1 bis n) bj*wj >

(Wegen der Bilinearität des Skalarproduktes)

=< ∑ (i=1 bis n) ai*wi ),∑ (i=1 bis n) bi*wi >

= ∑ (i=1 bis n) ∑ (i=1 bis n) aibj< wi,wj >

und weil B eine ON-Basis ist, ist das 

=∑ (i=1 bis n)  aibi 

Andererseits ist ebenso 

<u,v> =  <  ∑ (i=1 bis n) aivi ), ∑ (j=1 bis n) bjvj ) >

(Wegen der Bilinearität des Skalarproduktes)

 = ∑ (i=1 bis n) ∑ (i=1 bis n) aibj< vi,vj > und weil

A eine ON-Basis ist, ist das =∑ (i=1 bis n)  aibi .

Also immer <f(u),f(v)> = <u,v> und

damit f orthogonal.

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Danke für die ausführliche Antwort.