Dreieck fehlende vier Seiten berechnen

Question

Von einem Rechtwinkkiegen Dreieck (ABC) wissen wir nur je 2 größen davon, ich soll die vier fehlenden größen im dreieck berechnen.

 a) h = 4; q = 5

b) h= 1; q = 2

c) h= 5; b = 3

Answer 1

a) $$q^2+h^2=b^2\\b=\sqrt{q^2+h^2}\\b=\sqrt{5^2+4^2}=\sqrt{41}\approx 6,4\\sin(α)=\frac{Gegkath}{Hyp}\\sin(α)=\frac{4}{\sqrt{41}}\\α\approx 51,34°$$

Jetzt noch a ausrechnen und dann c

$$tan(α)=\frac{Gegkath}{Ankath}\\tan(α)\cdot Ankath(b)=Gegkath(a)\\Gegkath(a)=tan(51,34°)\cdot \sqrt{41}\approx 8$$

$$c=\sqrt{a^2+b^2}\\c=\sqrt{\sqrt{{41}}^{2}+8^2}=\sqrt{105}\approx 10,25$$

$$p=c-q\\p=10,25-5=5,25$$

b) Da gebe ich jetzt nur Ergebnisse, da die Systematik die gleiche ist. Die Ergebnisse sind natürlich nur richtig, wenn ich mich vorher nicht auch schon vertan habe. :)

$$b=\sqrt{5}\approx 2,24\\a=\frac{\sqrt{5}}{2}\approx 1,12\\c=2,5\\p=0,5$$

c) ~draw~ ;dreieck(-2|1 -2|7 1|1);punkt(-2|0.9 "C");punkt(1|1 "A");punkt(-2|7 "B");zoom(10) ~draw~

Du siehst also, dass h=a ist.

Jetzt meine Ergebnisse:

$$c=\sqrt{34}\approx 5,83$$

Der Rest ist gegeben und p/q gibt es nicht, da die Höhe es normalerweise unterteilt.

Gruß 

Smitty

PS.: Ich habe immer mit den Wurzeln gerechnet, wenn möglich. Falls du das nicht machst, könntest du etwas anderen Ergebnissen kommen.

   

Answer 2

a) h=4; q=5

 

Da die blauen Winkel in C und B gleich sind, gilt

$$\frac{p}{h} = \frac{h}{q}$$ oder vielleicht kennst Du auch den Höhensatz \(h^2=pq\). In jedem Fall ist

$$p = \frac{h^2}{q} = \frac{4^2}{5} = 3,2$$ Daraus folgt dann \(c=p+q=8,2\) und nach Pythagoras ist

$$h^2 + q^2 = a^2 \quad \Rightarrow a = \sqrt{h^2 + q^2} = \sqrt{4^2 + 5^2} = \sqrt{41} \approx 6,4$$

$$h^2 + p^2 = b^2 \quad \rightarrow b = \sqrt{h^2 + p^2} = \sqrt{4^2 + 3,2^2} \approx 5,12 $$

Die Lösung für b) ist identisch, Du musst nur die anderen Zahlen einsetzen.

c) h= 5; b = 3

Das kann nicht sein! \(b\) muss immer größer als \(h\) sein - zumindest, wenn der rechte Winkel im Punkt C liegt. Ich nehme mal an, es ist umgekehrt:

c) h= 3; b = 5

Berechne zunächst \(p\) nach Pythagoras: \(p=\sqrt{b^2 - h^2 }=\sqrt{25-9}=4\). Dann \(q\) wie oben nur umgekehrt

$$q = \frac{h^2}{p} = \frac{3^2}{4} = \frac94 = 2,25$$ Daraus folgt dann \(c=p+q = 4 + 2,25=6,25\) und \(a\) schaffst Du jetzt alleine - oder?

Gruß Werner

Comments

das tut mir leid ich habe ein tipp fehler gemacht bei Aufgabe b) und c)  

also:

richitg ist jetzt

b) p = 1 q = 2

c) a = 5 b = 3

SORRY LEUTE.

Und vielen Herzlichen dank an euch hat mir sehr geholfen

-Smitty

- Silvia

- Werner

---

ich weiß dieser Beitrag ist schon sehr alt, dennoch für alle Schüler die diese Antwort nutzen möchten..es haben sich hier zwei kleine Fehler eingeschlichen. Bei a) ist

a^2=h^2+p^2 und NICHT a^2= h^2+q^2

Also ist auch

b^2=h^2+q^2 und NICHT b^2=h^2+p^2

LG Nik99

---

@nik99,
sind das die richtigen Bezeichner ?

---

Hallo Nik,

sind das die richtigen Bezeichner ?

ein 'richtig' und 'falsch' gibt es hier nicht. Die Formeln, die ich benutze, beziehen sich immer auf die Skizze in der gleichen Antwort (s.o.).

Aber üblich ist tatsächlich, dass der Hypethenusenabschnitt unterhalb von \(a\) mit \(p\) und der unterhalb von \(b\) mit \(q\) bezeichnet wird, wie in der Skizze von Georg gezeigt und genau wie Du es in Deinem Kommentar schreibst. Ich hatte in meiner Skizze die Bezeichnungen \(p\) und \(q\) vertauscht.

Daher danke für den erklärenden Hinweis.

PS.: hier zeigt sich auch wieder: paukt keine Formeln (ist IMHO sinnlos!), sondern versucht die Zusammenhänge zu verstehen!

Answer 3

Hallo SN,

die Seite b kannst du mit dem Satz des Pythagoras berechnen. Hier ist dann a = q, b = h und c = b. Daraus ergibt sich:

$$ b=\sqrt{4^2+5^2}= 6,4 $$

Aus dem Kathetensatz b² = c * p kannst du die Seite c berechnen:

$$ c= \frac{6,4^2}{p}= 8,2 $$

p egibt sich aus der Differenz zwischen c und q, die Seite a berechnest du wieder mit dem Pythagoras.

s. auch: https://www.matheretter.de/rechner/dreieckrw/?hc=4&sq=5&scale=10

Gruß

Silvia

Comments

da ich bei aufgabe b) und c) ein fehler gemacht habe ist jetzt also

b) p= 1; q= 2 ->  p= ? q= a ??

c) a = 5, b = 3 ->  a = q und b = h ?

also der fehler war ein "schreibfehler/tippfehler"