Es seien n ∈ ℕ und a1, . . . , an ∈ ℝ. Zeigen Sie, dass die Gleichung
$$ \sum_{k=1}^{n}{{a}_{k}cos(kx)} = 0 $$
im Intervall [0, π] mindestens eine Lösung hat.
Zu dieser Aufgabe habe ich eine Frage, aktuell ist mein Lösungsansatz, die vollständige Induktion zu verwenden.
Ich habe als Induktionsanfang getestet, dass bei n=1 die Gleichung
$$ {a}_{1}cos(x)=0 $$
für x = π/2 ein wahre Aussage ist.
Somit hab ich dann als Induktionsvoraussetzung, dass es ein n ∈ ℕ gibt, bei dem die Gleichung
$$ \sum_{k=1}^{n}{{a}_{k}}cos(kx)= 0 $$
eine Lösung hat.
Der Induktionsschritt wäre ja dann n → n+1 hier kann ich dass ganze ja dann folgendermaßen umstellen:
$$ \sum_{k=1}^{n+1}{{a}_{k}cos(kx))} = 0 $$
$$⇔ \sum_{k=1}^{n}{{a}_{k}cos(kx)} + {a}_{n+1}cos((n+1)x)= 0 $$
$$⇔ {a}_{n+1}cos((n+1)x)= (-1) \sum_{k=1}^{n}{{a}_{k}cos(kx)} $$
Und durch die Induktionsvoraussetzung gilt ja dann, dass die obere Gleichung die zu zeigen
ist stimmt oder?
Bin mir da leider nicht ganz sicher und würde mir etwas Hilfe wünschen, muss bei meinen Aufgaben einigermaßen gut abschneiden und möchte keinen blöden Fehler machen.
