Größte Offene Intervall, sodass die Reihen für x konvergieren

Question

Die Aufgabenstellung: Bestimmen Sie alle x Element Reeller Zahlen, für welche die Reihe i) konvergieren

Ich habe i) mit dem Quotientenkriterium gelöst und habe rausbekommen:

| x/2 | <= q < 1

Bis hierhin scheint alles richtig zu sein, zumindest meint mein Korrekteur das.

Jetzt muss ich allerdings den Intervall finden.

Ich habe es versucht zu finden indem ich mit 2 multipliziere, also

|x| < 2 und somit wäre mein Intervall bei -2 < x < 2

Das ist allerdings falsch, der Richtige Radius ist wohl bei (-4,0).

Meine Frage ist, wie komme ich von |x/2| <= q < 1 auf den Intervall (-4,0) ?

ii) hab ich z.B. genauso gelöst, nur das da alles richtig ist.

Hatte bei ii) das raus: |-x^2| <= q < 1

=> x^2 < 1 | wurzel ziehen

=> -1 < x < 1

Wieso ist es hier richtig?

Answer 1

Es handelt sich bei allen drei Reihen um Potenzreihen \(\sum_{k=p}^\infty a_k(x-\xi)^k\). Die haben einen Konvergenzradius \(r\). Das groesste offene Intervall, in dem sie konvergieren, ist \((\xi-r,\xi+r)\). Zur Berechnung von \(r\) gibt es zwei Formeln.

$$(1)\quad r=\left(\limsup_{k\to\infty}\sqrt[k]{|a_k|}\right)^{-1}$$

$$(2)\quad r=\lim_{k\to\infty}\frac{|a_k|}{|a_{k+1}|}$$

(1) ist die Formel von Cauchy-Hadamard, die geht immer. (2) ist die Formel von Euler. Bei der ist vorauszusetzen: fast alle \(a_k\ne0\) und der Grenzwert existiert.

Das ist die ganze Theorie, die man braucht und die man in der Vorlesung gefaelligst mitkriegen muss. Mit weniger geht es nicht.

Bei (i) liest man \(\xi=-2\) ab und rechnet mit (2) \(r=2\) aus. Das gesuchte Intervall ist damit \((-4,0)\).