Tangente und Berührpunkt bestimmen

Question

Folgende Frage:

gegeben ist f(x)= -1/8 x²

Bestimme t und Berührpunkt der Geraden g: y= mx+2


Was mache ich jetzt? Wär echt super, wenn mir hier nochmal jemand helfen könnte ;)

Answer 1

Hi,

die Steigung der Geraden muss der Ableitung von f'(x) entsprechen.

f'(x) = -1/4*x

 

Es gibt also nun zwei Gleichungen. Eben die gleiche Steigung und auch der Punkt muss derselbe sein:

f(x) = g(x)

f'(x) = m

 

-1/8*x^2 = mx+2

-1/4*x = m

 

Zweite einsetzen in ersteres:

-1/8*x^2 = (-1/4x)*x+2  |+1/4x^2

1/8x^2 = 2                     |*8

x^2 = 16

x = ±4

 

Damit in die zweite Gleichung

m = ±1

 

Die Berührpunkte sind also B₁(-4|-2) und B₂(4|-2) mit den Tangenten y₁ = x+2 und y₂ = -x+2.

(y-Werte der Punkte bestimmen, in dem die x-Werte in y₁ und y₂ eingesetzt werden)

 

Grüße

Comments

okay super danke :) aber wie kommst du jetzt auf -1/4x?

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Kannst du noch nicht ableiten? Behandelt ihr gerade quadratische Gleichungen?

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sehr anschaulich aber woher kommen die tangentengleichungen x+2 und -x+2 ?

Grüße

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Hi,

wir haben doch die x-Stellen gefunden. Setze diese in die Parabel ein und Du erhältst auch die y-Werte, also die Punkte B₁ und B₂.

Nun ist ja m bereits bekannt und ein weiterer Punkt. Damit lassen sich die Tangenten bestimmen :).

Klar?

Answer 2

gegeben ist f(x)= -1/8 x²

Bestimme t und Berührpunkt der Geraden g: y= mx+2.

t soll vermutlich die Tangente sein. Eine von den g: y = mx+2.

Wichtig: Graph von f und t haben genau einen gemeinsamen Punkt.

Also: Funktionsgleichungen gleichsetzen und dafür sorgen, dass die quadratische Gleichung genau eine Lösung hat.
Erreicht man, indem man die Diskriminante 0 setzt.

-1/8 x^2 = mx + 2

0 = 1/8 x^2 + mx + 2      |*8

0 = x^2 + 8mx + 16

a=1, b=8m, c = 16

d = b^2 - 4ac = 64m^2 - 64 = 0

-------> m = ±1

t₁ : y = x+2

t₂: y = -x + 2

Jetzt noch die Berührpunkte berechnen.

-1/8 x^2 = x + 2

0 = 1/8 x^2 + x +2

0 = x^2 + 8x + 16 = (x+4)^2 → x = - 4, y = -4 +2 = -2.  B₁ (-4, -2)

 

-1/8 x^2 = -x + 2

0 = 1/8 x^2  -x +2

0 = x^2 - 8x + 16 = (x-4)^2 → x =  4, y = -4 +2 = -2.  B₂ (4, -2)

Kontrolle: Graph