im letzten Artikel wurde gezeigt, wie man die Steigung an einer Stelle ausrechnet, und wie man die Tangente von diesem Punkt aufstellt. Außerdem habt ihr etwas über die Berechnung von dem Schnittwinkel zweier Funktionen erfahren. (https://www.mathelounge.de/517051/alles-rund-die-ableitung-wie-bilde-ich-diese-mache-damit-teil)
Wie angekündigt beschäftigen wir uns mit der Monotonie einer Funktion mithilfe der 1. Ableitung. Ein zweites Thema wird sein: Verhalten im Unendlichen. Passt gut zusammen.
Was heißt Monotonie einer Funktion?
Wenn man die Monotonie einer Funktion beschreibt, dann schaut man, wo die Funktion fällt (Steigung ist negativ) und wo sie Steigt (Steigung ist positiv). Man unterscheidet zwischen streng monoton fallend/steigend und monoton fallend/steigend (Später mehr).
Jetzt erstmal ein Graph, den wir dann analysieren. Zuerst schätze ich die Werte ungefähr ab, damit klar wird, was gemeint ist und dann werdet ihr den Rechenweg erfahren.
~plot~ 1/3x^3-2x^2+3x ~plot~
Erst die grobe Abschätzung:
Zuerst kommt steigt der Graph bis 1 dann fällt er bis 3 und dann steigt er wieder.
Wie rechne ich das aus?
Man muss f´(x)= 0 setzen. Ihr seht auf dem Graphen, dass die Steigung beim Wechsel, die Steigung 0 hat. Also suchen wir diese Stelle mithilfe der 1. Ableitung, da wir ja wissen, dass diese uns die Steigung gibt. Danach muss man zwischen den Nullstellen schauen, ob die Steigung positiv oder negativ ist. Wenn negativ, dann fallend, wenn positiv, dann steigend.
Beim Aufschrieb muss man aufpassen, wie man die Intervalle dann schreibt, damit es streng monoton fallend/steigend oder
monoton fallend/steigend. Das wird aber am Beispiel noch klar.
Am besten nehmen wir uns das Beispiel von oben.
Nochmal der Graph, mit dem Ableitungsgraphen.
~plot~ 1/3x^3-2x^2+3x;x^2-4x+3 ~plot~
Dann rechnen wir es einfach mal.
Step-by-Step Anleitung:
1. Schritt: f´(x) bilden
2. Schritt: f´(x)=0
3. Schritt: Steigung aus Punkt aus den Intervallen zwischen den Nullstellen berechnen und schlussfolgern, ob steigt oder fällt
4. Schritt: Intervalle, je nach Aufgabenstellung, aufschreiben.
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1.Schritt
$$f(x)=\frac{1}{3}x^3-2x^2+3x\\f´(x)=x^2-4x+3$$
2.Schritt
$$ f´(x)= 0 \\ x^2-4x+3=0 \\ {x}_{1}=1 \\ {x}_{2}=3 $$
3. Schritt Jetzt die Steigung eines Punktes zwischen den Nullstellen ausrechnen.
1. vor x1=1 => Stelle zwischen 1 und "-unendlich" =>wir rechnen es für x=0 aus. $$\quad f´(0)=3=> Es\ steigt $$
2. x2=3 Stelle zwischen 1 und 3 => wir rechnen es für x=2 aus $$\quad f´(2)=-1=> Es\ fällt$$
3. Stelle zwischen x2 und unendlich=> wir rechnen es für x=4 aus $$\quad f´(4)=3=> Es\ steigt$$
4. Schritt Ergebnisse aufschreiben.
Wenn die Aufgabenstellung sei: Zeige wann die Funktion monoton fällt, bzw. steigt, dann kann man die Punkte, wo die Steigung 0 ist mit in das Intervall reinnehmen. Dies wird klar, wenn man eckige Klammern um das Intervalle macht. Eine Ausnahme ist "unendlich", da dies keine Zahl ist. Dort werden normale Klammern benutzt, wie auch, wenn man zeigen muss, wo die Funktion streng monoton fällt, bzw. steigt
Monoton fallend
$${I}_{1}=[1|3]$$
Monoton steigend
$${I}_{2}=(-\infty|1]\\{I}_{3}=[3|\infty)$$
Für Streng Monoton fallend/steigend muss man nur die Klammern etwas austauschen. Nämlich die eckigen, da die "runden" aussagen, dass man die Zahl nicht ins Intervall mit reinnimmt.
Streng Monoton fallend
$${I}_{1}=(1|3)$$
Streng Monoton steigend
$${I}_{2}=(-\infty|1)\\{I}_{3}=(3|\infty)$$
Das wars zu dem Thema. ok... es gibt auch noch eine zweite Möglichkeit mit der 2. Ableitung, aber das ähnelt dem hier sehr. Falls jemand das andere auch wissen möchte, kann diese Person sich kurz die "Step-byStep"-Anleitung anschauen und wird es wahrscheinlich verstehen.
Im nächsten Artikel befassen wir uns endlich mit den lok. Extrempunkten (Hoch-/Tiefpunkte)
Ich hoffe, dass ich das Thema verständlich erklärt habe. Über Konstruktive Kritik, aber auch Fragen in den Kommentaren,würde ich mich freuen.
