In dieser Artikelreihe es um die Ableitung. Wie bilde ich diese? Was mache ich mit der Ableitung? Einmal die allgemeine Lösung und dann noch Beispiele. In diesem Artikel geht es nur die Bildung.
Allgemeine Bildung
$$f(x)={x}^{n}\\f´(x)=n\cdot {x}^{x-1}\\f(x)={x}^{2}\\f´(x)=2x$$
Um eine Ableitung zu bilden, gibt es 5 verschiedene Regeln, nämlich Faktor-, Summen-, Produkt-, Quotienten- und die Kettenregel und eine Zusatzregel.
Zusatzregel
WICHTIG! Konstante Summanden fallen immer weg beim Ableiten und x^0=1. Wird in späteren Beispielen noch deutlich.
Faktorregel
$$f(x)={a\cdot x}^{n}\\f´(x)=a\cdot n \cdot {x}^{n-1}$$
Damit ist gemeint: Wenn man vor dem x ein Faktor ist, dann wird dieser beim Ableiten mit dem alten Exponenten multipliziert.
Beispiel: $$f(x)=3{x}^{5}\\f´(x)=3\cdot 5 \cdot {x}^{5-1}\\f´(x)=15{x}^{4}$$
Summenregel
$$f(x)=(a{x}^{{n}_{1}})+(b{x}^{{n}_{2}})\\f´(x)=(a\cdot {n}_{1}\cdot {x}^{{n}_{1}-1})+(b\cdot {n}_{2}\cdot {x}^{{n}_{2}-1})$$
Diese regel sagt aus, dass man jeden Summanden einzeln ableiten soll. Sprich erst die erste Klammer, die dort nur zur Veranschaulichung ist, und dann die zweite.
Beispiel: $$f(x)=3\cdot {x}^{3}+ 2\cdot x+4\\f´(x)=3\cdot 3 \cdot {x}^{3-1}+2\cdot 1 \cdot {x}^{1-1}\\f´(x)=9{x}^{2}+2$$
Produktregel
$$f(x)=u(x)\cdot v(x)\\f´(x)=u´(x)\cdot v(x)+v´(x)\cdot u(x)$$
Diese Regel ist etwas komplexer. Für u(x) oder v(x) kann so etwas ,wie zum Beispiel 3x^2 oder -2x^6 , stehen.
Der erste Summand ist u´(x)•v(x). Das heißt, dass man einfach oder u(x) ableitet und dann mit v(x) multipliziert. Also wird dann u(x)=3x^2 zu u´(x)=6x.
Der andere Summand ist v(x)•u(x). Dort ist es umgekehrt. Man leitet v(x) ab und nicht u(x). Anhand eines Beispiels wird dies wahrscheinlich klar.
$$f(x)=6{x}^{3}\cdot (3{x}^{2}-4x)$$
Natürlich könnte man dies ausmultiplizieren, aber es später auch nicht ausmultiplizierbare Funktionsterme. Diese Beispiel soll nur das System darstellen. Also:
$$u=6{x}^{3} \qquad \qquad \ u´=18{x}^{2}\\v=3{x}^{2}-4x\qquad v´=6x-4\\[10pt]f´(x)=18{x}^{2}\cdot (3{x}^{2}-4x)+(6x-4)\cdot 6{x}^{3}\\f´(x)=54{x}^{5}-72x+36{x}^{4}-24{x}^{3}$$
Ob man es ausmultiplizieren möchte oder nicht, liegt an einem selber. Aber ich persönlich bevorzuge, es die beiden Summanden als Faktor zu lassen.
Quotientenregel
$$f(x)=\frac{u(x)}{v(x)}\\f`(x)=\frac{u´(x)\cdot v(x)-u(x)\cdot v´(x)}{{(v(x))}^{2}}$$
Diese Regel wird benutzt, wenn man eine Bruch in der Funktion hat, zum Beispiel bei einer gebrochen rationalen Funktion. Sie funktioniert vom Prinzip genau wie die Produktregel. Man leitet am Anfang in einer Nebenrechnung die Einzelnen Komponenten ab und setzt sie dann ein. Nur dass man im Zähler jetzt die beiden Faktoren subtrahiert und nicht addiert (wie bei der Produktregel). Danach muss man diese noch einmal mit dem Nenner der Funktion, der quadriert wird (also hoch 2) teilen. Jetzt noch ein Beispiel.
$$f(x)=\frac{6{x}^{2}}{3x+2}\\u(x)=6{x}^{2} \qquad u´(x)=12x\\v(x)=3x+2\quad v´(x)=3\\f´(x)=\frac{12x\cdot (3x+2)-6{x}^{2}\cdot 3}{{(3x+2)}^{2}}\\f´(x)=\frac{36{x}^{2}+24x-18{x}^{2}}{9{x}^{2}+12x+4}\\f´(x)=\frac{18{x}^{2}+24x}{9{x}^{2}+12x+4}$$Wenn man es als Produkt haben möchte:
$$f´(x)=\frac{6x\cdot (3x+4)}{(3x+2)^2}$$
Kettenregel
Die letzte Regel ist die Kettenregel. Dies ist in der allgemeinen Form nicht ganz leicht zu verstehen. Aber ich schreibe sie dennoch auf und werde es dann erklären.
$$f(x)=u(v(x))\\f´(x)=u´ ( v(x))\cdot v´(x)$$
Also... Man muss erstmal zwei Begriffe definieren, Äußere und Innere Ableitung. Wenn man eine Klammer hat, wo irgendetwas mit x drinsteht, ist der das, was in der Klammer steht die Innere Ableitung.Die Innere Ableitung kann man nach den anderen, oben genannten, Regeln bilden. Wenn die Klammer noch mit etwas hoch genommen wird, nennt man dies die Äußere Ableitung. Um dann die Komplette Ableitung zu bilden, muss man die dann die Äußere Ableitung mit der Klammer multiplizieren und dann diesen Term nochmals mit der Inneren Ableitung. Am Beispiel dürfte klar werden, wie man die Komponenten zusammenfügt.
$$f(x)={(4{x}^{2}-3x+5)}^{3}\\Innere Ableitung: \ 8x-3\\Aeußere Ableitung:\ 3{(4{x}^{2}-3x+5)}^{2}$$
Das noch zusammenfügen.
$$f´(x)=3\cdot {(4{x}^{2}-3x+5)}^{2}\cdot (8x-3)$$
Das war´s mit den Regeln zur Bildung von Ableitungen, natürlich gibt es noch Sonderfälle, aber die kann man in jeder Formelsammlung nachschlagen.
Aber wozu braucht man die Ableitung?
Die Ableitung hat das Gleiche Ziel, wie die Methode des "Differenzenquotienten plus h" . Man möchte die Steigung an einem Punkt bestimmen. Im Endeffekt ist die oben genannte Methode die Herleitung zur Ableitung. Es gibt natürlich noch mehr Einsatzmöglichkeiten und auch noch die 2. und 3. Ableitung. Aber dafür werde ich im Laufe der Zeit noch andere Artikel schreiben mit den Themen "Steigung an einem Punkt"; "Extrempunkte" und noch anderes.
Ich hoffe mein Artikel hat euch gefallen. Über Feedback, auch Verbesserungsvorschläge, freue ich mich.
