Vektoren auf Unabhängigkeit prüfen

Question

Ich hätte die Vektoren:

3

1

1

und

1

2

1

Wäre es eine quadratische Matrix könnte ich ja die Determinante berechnen um die Unabhängigkeit zu bestimmen. Aber wie mache ich das in diesem Fall? 

Answer 1

lineare Unabhängigkeit von Vektoren ist im Allgemeinen so definiert: Wenn eine Linearkombination der Vektoren null ergibt, dann sind alle Vorfaktoren in der Linearkombination null. In deinem Fall:

$$\lambda_1 \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + \lambda_2 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} = 0$$

Prüfe, ob dieses LGS als Lösung nur $$\lambda_1 = \lambda_2 = 0$$ besitzt. Dafür kannst du das LGS als Matrix schreiben und das Gauß-Verfahren anwenden, um eine Aussage über den Kern zu treffen:

$$ \begin{pmatrix}3 & 1 \\ 1 & 2 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}\rightarrow \begin{pmatrix}1 & 1 \\ 1 & 2 \\ 3 & 1 \end{pmatrix}\rightarrow \begin{pmatrix}1 & 1 \\ 0 & 1 \\ 0 & -2 \end{pmatrix}\rightarrow \begin{pmatrix}1 & 1 \\ 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} $$

Man sieht: Der Rang der Matrix ist 2, und das entspricht der Anzahl der Spalten. Daraus folgt, dass der Kern der Matrix nur aus dem Nullvektor besteht. Das heißt, dass das obere LGS nur die Lösung $$\lambda_1 = \lambda_2 = 0$$ hat. Also sind deine Vektoren linear unabhängig.

Answer 2

r * [3, 1, 1] + s * [1, 2, 1] = [0, 0, 0]

gibt als Lösung nur die Triviallösung r = s = 0 und damit sind die Vektoren linear unabhängig.

[3, 1, 1] ist hier kein Vielfaches von [1, 2, 1]