Lösbarkeit allgemeine Pellsche Gleichung x^2 - (m^2 + 2) y^2 = -2

Question

Sei

$$ d = m^2 + 2,\quad m \in \mathbb{N} $$

Zeigen Sie: Die Gleichung

$$ x^2 - d y^2 = -2 $$

hat unendlich viele Lösungen.

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Ich habe die Kettenbruchentwicklung von \( \sqrt{d} = [m,\overline{m,2m}] \) bestimmt und die Näherungsbrüche davon probiert. Klar \( ( \pm m, \pm 1 ) \) sind Lösungen. Der 4. und 8. Näherungsbuch liefert laut WolfamAlpha auch jeweils Lösungen, ich vermute die 4k-ten \((k\in\mathbb{N}_0)\) Näherungsbrüche lösen die Gleichung, aber wie beweist man das?

Bin für jeden Tipp sehr dankbar.

Gruß

Answer 1

Hallo EmNero,

ich starte mal einen Versuch. Ich habe etwas herum probiert und ich vermute(!), dass man aus einer bekannten Lösung \((x_i,y_i)\) mit folgender Matrizenmultiplikation eine weitere Lösung machen kann. Es sei

$$\begin{pmatrix} x_{i+1}\\ y_{i+1}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} m^2+1 & m(m^2+2)\\ m & m^2+1\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x_i\\ y_{i}\end{pmatrix}$$

wenn das korrekt ist, und das \((m,1)\) immer eine Lösung ist, so gibt es auch unendlich viele Lösungen der obigen Pellschen Gleichung für jedes \(m\).

Gruß Werner

Comments

Mein Dozent wird mir vermutlich nicht mehr antworten ...
In unserem Skript findet sich folgender Satz:

M.M.n. ist dieser aber in der Indizierung des Kettenbruchs falsch. Wenn man die Indizes der a um eins verringert, kann man leicht zeigen, das c_2n = 2 für alle natürlichen n ist. Dann hat man aber auch schon die Existenz unendlich vieler Lösungen für obige Gleichung nachgewiesen.

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Ich hab mir jetzt mal deine Matrix angeschaut, das ganze stimmt sehr wahrscheinlich. Wie hast du diese gefunden?

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Hallo EmNero,

es freut mich, dass Du Dich wieder meldest, weil diese Frage unter der gefühlten 100'sten Kurvendiskussion klar hervor sticht. Ich hatte schon befürchtet, Dich interessiert die Antwort überhaupt nicht!

"... das ganze stimmt sehr wahrscheinlich. Wie hast du diese gefunden? " Ja - die Matrix ist korrekt. Ich hatte mir inzwischen die Mühe gemacht, das nachzurechnen! Gefunden habe ich sie durch 'intelligentes Probieren' (so sagte eins mein Matheprof!). ich habe für kleine Werte von \(m\) die nummerischen Lösungen gesucht und dann jedes mal nach einer Matrix gesucht, aus der sich von einer bekannten jeweils die nächste entwickeln lässt. Am Ende hatte ich dann drei bis vier Matrizen beisammen und habe sie mir in Abhängigkeit von \(m\) angeschaut.

Den Satz 14.9. muss ich mir noch anschauen.

Gruß Werner

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Ganz im Gegenteil, die Antwort interessiert mich sehr! Sonst hätte ich die Frage ja nicht gestellt ;) Ich hatte nur erste heute die Zeit mich mit dem Vorschlag etwas genauer zu beschäftigen, konnte die Richtigkeit aber ebenfalls rechnerisch begründen. Wenn (x1,y1) = (m,1) ist, dann liefert die Matrix im übrigen für (x2,y2) den zweiten und für (x3,y3) den vierten Näherungsbruch.