Surjektivität bei dieser Funktion

Question

Ich habe in der Klausurvorbereitung folgendes Problem:

Sei die Funktion f: ℝ × [0, 2π] → ℝ² mit (r, o) ↦ (r * cos(o), r* sin(o)).

Nun soll ich auf Injektivität, bzw. Surjektivität überprüfen. Nicht injektiv ist ja klar und surjektiv an sich auch, aber mir ist bisher unklar, wie ich die Surjektivität formal korrekt zeigen soll. Kann mir da jemand vielleicht Ansätze zeigen?

Answer 1

Surjektivität:

Sei (a,b) ∈ ℝ² .

1. Fall   a=0 ==>  f( b, π/2 )

                 = (b*sin( π/2) , b*cos( π/2)= (0,b) = (a,b)

2. Fall :  a≠0

Idee:  wenn man den Vektor (a,b)^T auf 1 normiert, liegt seine

Spitze auf dem Einheitskreis und sein Winkel mit der pos.

x-Achse ist durch arctan( b/a) gegeben. Muss vielleicht noch etwas 

durch Fallunterscheidung bzgl. der Quadranten optimiert werden.

   also:   f( √( a^2 +b^2) ,  arctan(b/a)  )  

 =  (√( a^2 +b^2)* cos( arctan(b/a))  ;      √( a^2 +b^2)*sin( arctan(b/a) ) ) 

= ( a , b ) .