Konvergenz bestimmen mit Wurzeln

Question

Wie bestimmt man hier den Grenzwert?

\( \lim \limits_{n \rightarrow \infty} \sqrt{n+\sqrt{2 n}}-\sqrt{n} \)

Klar ist, dass man erweitert und dadurch die Wurzel aus dem Zähler kommt, allerdings bleibt eine Wurzel über und der Nenner schaut noch grausamer aus.

Answer 1

erweitere mit der 3.binomischen Formel und erhalte
$$ \lim_{n\to\infty}\frac{\sqrt{2n}}{\sqrt{n+\sqrt{2n}}+\sqrt{n}}\\= \lim_{n\to\infty}\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{1+\sqrt{2/n}}+1}=\sqrt{2}/2\\ $$

Comments

Macht Sinn, danke wie immer:)

Answer 2

... kürze anschließend noch durch \(\sqrt{2n}\)

$$\lim_{n \to \infty} \sqrt{n + \sqrt{2n}} - \sqrt{n}$$

$$\space = \lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt{2n}}{ \sqrt{n + \sqrt{2n}} + \sqrt{n}}$$

$$\space = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{ \sqrt{\frac12 + \frac{\sqrt{2n}}{2n}} + \sqrt{\frac12}}$$ $$\space = \frac{1}{2\sqrt{\frac12}} = \frac12 \sqrt{2}$$ da der Ausdruck

$$\lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt{2n}}{2n}= \lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt{2}}{2\sqrt{n}}=0$$

zu 0 wird.

Comments

.Dankeschön

Könntest du mir noch sagen, wie du den Nenner von der dritten zur vierten Zeile umgeformt hast?

Des Weiteren ist das Ergebnis doch falsch? Es müsste 1/sqrt(n) rauskommen.

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Könntest du mir noch sagen, wie du den Nenner von der dritten zur vierten Zeile umgeformt hast?

$$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{\sqrt{\frac12 + \textcolor{#F00}{\frac{\sqrt{2n}}{2n}}}+ \sqrt{\frac12}}$$

$$\space = \frac{1}{\sqrt{\frac12 + \colorbox{#ffff80}{0}}+ \sqrt{\frac12}}$$

da, wie schon in meiner Antwort beschrieben, der Term \(\frac{\sqrt{2n}}{2n}\) gegen 0 geht.

$$\space = \frac{1}{\sqrt{\frac12}+ \sqrt{\frac12}}$$ $$\space = \frac{1}{2\sqrt{\frac12}}$$

Des Weiteren ist das Ergebnis doch falsch? Es müsste 1/sqrt(n) rauskommen.

Sicher nicht, da \(n \to \infty\) geht. Dann würde \(1/\sqrt(n) \to 0\) laufen. \(n\) darf im Ergebnis gar nicht mehr vorkommen. Und falls Du \(1/\sqrt{2}\) gemeint hast, das ist das selbe wie \(\frac12\sqrt{2}\) - erweitere dazu ersteres mit \(\sqrt{2}\).

Answer 3

Setze für n nacheinander 10¹⁰, 10²⁰, 10³⁰ ein und vergleiche mit -1/√2.