Oktaeder in einem Würfel berechnen

Question

Ich muss die Nr. 11 machen.



"Berechne das Volumen des Oktaeders"

V=2*(a^2*h /3)

a=?

d=12cm

d^2=a^2+a^2

d^2=2*a^2    :2

d^2/2=a^2

a=√(d^2/2)

a=8.4cm

V=2*((8.4^2*12)/3)

V=564.48cm^3

"Wie viel Prozent beträgt das Voulem des Oktaeders vom Würfelvolumen"

VWürfel=a^3

VWürfel=12^3

VWürfel=1728cm^3

(564.48/1728)*100=32.67%

Sind diese Rechnungen richtig?

Answer 1

Die Formel für diesen Fall kann man so erklären:

Man nimmt einfach die Formel eine quadratischen Pyramide mal 2:

$$V=\frac{2\cdot a^2*h}{3}$$

a kannst du ausrechnen, indem du den Pythagoras anwendest.

$${a}_{Oktaeder}=\sqrt{(6cm)^2+(6cm)^2}=6\sqrt{2}cm\approx 8,49cm$$

Und h kannst du so ausrechnen:

$$h=\sqrt{{(6\cdot\sqrt2}cm)^{2}-(6cm)^2}=6cm$$

$$V=\frac{2\cdot {(6\sqrt{2}cm)}^{2}\cdot 6cm}{3}=288cm^3\\$$

Prozentual:

$${V}_{Wurfel}=(12cm)^3=1728\\\frac{288cm^3}{1728cm^3}=\frac{1}{6}\\$$

Entspricht: 16,6%

Ich hoffe, ich konnte dir helfen.

Smitty

PS: Wie kann man das entspricht Zeichen und das Prozentzeichen in LaTex einfügen?

Comments

Stimmt,

mein einziger Fehler lag darin, dass ich ausversehen die Gesamte Höhe des Oktaeders in die Gleichung gesetzt hab anstatt die Hälfte.

So:

$$ \overset{\wedge}{=} $$

\overset{\wedge}{=}

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Wait,

\% so geht Prozentzeichen

Sollte$$ V=\frac{a^2 \cdot h}{3} $$ nicht zu $$ V=2 \cdot (\frac{a^2 \cdot h}{3}) $$ werden?

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Ja sollte es. Steht auch bei mir.

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Nevermind kommt das selbe raus

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Was hat dich denn verwirrt?

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Bei dir steht 

(2*a^2*h)/3

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Achso, du kannst den Faktor ja einfach auf den Buchstrich schreiben, da 2=2/1 ist und dann halt jeweils Nenner mit Nenner und Zähler mit Zähler multiplizieren.

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Ja, das hat mich gerade verwirrt. 

Answer 2

Hallo Anton,

> Stelle für das Volumen zunächst eine  Formel  auf

Für die Seitenlänge s der Grundfläche des Oktaeders gilt nach Pythagoras

s = √( (a/2)² + (a/2)² )  = a/√2

und damit für Das Volumen V des Oktaeders

V  = 2 * 1/3 * s² * h_Pyramide  = 2/3 * a²/2 * a/2  

V  =  1/6 a³    , also  ≈ 16,7 % des Würfelvolumens.

Der prozentuale Anteil des Oktaedervolumens ist (natürlich) von der Kantenlänge a des Würfels unabhängig.

Gruß Wolfgang