Konvergiert, Grenzwert bestimmen

Question

 Wie gehe ich bei der i vor ? Und wie bestimme ich den Grenzwert hier ? Würde mich auf eine Antwort sehr freuen ! Lg 

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Geht übrigens hier weiter https://www.mathelounge.de/519042/hilfe-beim-ausklammern-in-bruch-mit-wurzeln-fur-grenzwert

Answer 1

Erweitere den Term für a_n mit der Summe der beiden Wurzeln.

Dann erhältst du einen Bruch, bei dem (je nach Wert von ß) der 

Zähler von der Größenordnung n^2 und der Nenner von der Größenordnung n ist.

Das würde nicht konvergieren, außer, wenn man die Größenordnung im Zähler auch

auf die von n bringt, dass klappt, wenn  4ß = 1 , also  ß=1/4  ist.

Dann hast du den Bruch 

(16n + 1) /  (  2√(0,25n^2 + 4n) + √( n^2 -1)  ) 

= (16n + 1) / (n* (  2√(0,25 + 4/n) + √( 1 -1/n^2 )  ) )

= (16 + 1/n) /  (  2√(0,25 + 4/n) + √( 1 -1/n^2 )  ) 

Also Grenzwert   16 / ( 2*0,5 + 1 )  = 8

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Ich verstehe nicht ganz wie man hier erweitert hat und wie bist du auf die 0,25 in der Wurzel gekommen ? Danke für deine Antwort :) 

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Schreib unter den Term eine 1 und erweitere mit 

dem gleichen Term, nur zwischen den Wurzeln

ein +. Dann 3. binomi. Formel.

Die 0,25 ist das ß.