Wahrscheinlichkeit von vier unabhängigen Ereignissen

Question

sitze gerade an einer Frage und bin mir nicht sicher, ob meine Lösung stimmt. Hier erst mal dir Frage:

Gegeben sind vier unkorrelierte, identisch verteilte Risiken. Pro Risiko sind nur zwei Ausgänge bezüglich der Schadenhöhen möglich (0 EUR und 3.000 EUR). Die Wahrscheinlichkeit des Schadeneintritts liegt konstant bei 10%.

Zu berechnen ist sind die Wahrscheinlichkeiten der Gesamtschadenhöhen in EUR von 0, 3.000, 6.000, 9.000 sowie 12.000.

Hier meine Lösung:


Wahrscheinlichkeit von 0 EUR = 65,61%

Wahrscheinlichkeit von 3.000 EUR = 7,29%

Wahrscheinlichkeit von 6.000 EUR = 0,81%

Wahrscheinlichkeit von 9.000 EUR = 0,09%

Wahrscheinlichkeit von 12.000 EUR = 0,01%


Stimmen meine Ergebnisse soweit?  

Answer 1

Drei deiner Ergebnisse sind leider falsch - die anderen beiden nur "zufällig" richtig :-).

Das lässt sich ganz einfach dadurch feststellen, dass die Summe der einzelnen Wahrscheinlichkeiten nicht den Wert 100 % bzw. 1 hat. Diesen Wert müsste diese Summe aber haben, denn das sichere Ereignis ist ja, dass eines der betrachteten Ereignisse eintritt (entweder 0 , 3000, 6000, 9000 oder 12000 Euro Schaden). Andere Möglichkeiten gibt es nicht.

Anhand deiner Ergebnisse nehme ich an, dass du so gerechnet hast:

P ( 0 ) = 0,9 ⁴ = 65,61

P ( 3000 ) = 0,1 ¹ * 0,9 ³ = 7,29

P ( 6000 )  = 0,2 ² * 0,9 ² = 0,81

usw.

Du hast also überlegt: Wenn ein Schaden von k * 3000 Euro auftritt, dann muss sich also  k mal das Risiko verwirklicht haben und 4 - k mal nicht. Also hast du gerechnet.

P ( k * 3000 ) = 0,1 ^k * 0,9 ^{( 4 - k )}

Dabei hast du allerdings nicht berücksichtigt, welches der 4 Risiken jeweils eingetreten ist. Außer in den Fällen P ( 0 ) und P ( 12000 ) gibt es dafür aber mehr als nur eine Möglichkeit. So kann sich z.B. bei einem Schaden von 3000 Euro das Risiko 1 oder das Risiko 2 oder das Risiko 3 oder das Risiko 4 verwirklicht haben. Es gibt also 4 Möglichkeiten dafür, dass ein Schaden von 3000 Euro eintritt.

Die Anzahl der Möglichkeiten, dass sich aus n Risiken k verwirklichen, ist gleich der Anzahl der Möglichkeiten, aus n verschiedenen Kugeln k zu ziehen. Diese Anzahl wird durch den Binomialkoeffizienten ( n über k ) berechnet, der daher als Faktor in die Berechnung der Wahrscheinlichkeiten eingehen muss. Der Binomialkoeffizient ( n über k ) ist definiert als:

( n über k ) = n ! / ( k ! * ( n - k ) ! )

Somit lautet die Formel für die Berechnung der Wahrscheinlichkeiten in deinem Beispiel:

P ( k * 3000 ) = ( 4 über k ) * 0,1 ^k * 0,9 ^{( 4 - k )}

und das ist gerade die für deine Aufgabe geltende Ausprägung der Formel der ihr zugrundeliegenden Binomialverteilung.

 

Die korrekten Ergebnisse, die sich hieraus ergeben sind:

P ( 0 ) = ( 4 über 0 ) * 0,1 ⁰ * 0,9 ^{( 4 - 0 )}  = 1 * 1 * 0,6561 = 65,61 %

P ( 3000 ) = ( 4 über 1 ) * 0,1 ¹ * 0,9 ^{( 4 -1 )}  = 4 * 0,1 * 0,729 = 0,2916 = 29,16 %

P ( 6000 ) = ( 4 über 2 ) * 0,1 ² * 0,9 ² = ... = 4,86 %

P ( 9000 ) = ... = 0,36 %

P ( 12000 ) = ... = 0,01 %

Addiert man die Wahrscheinlichkeiten, so erhält man 100 % = 1, wie es eben auch sein muss.