Question

Trigonometrie - Berechnen Sie die Normalabstände des Schiffes von der Küste.

Es wäre super, wenn jemand das Beispiel Punkt für Punkt durchrechnen könnte, so dass ich meine eigenen Überlegung dazu machen kann bzw. es verstehe. Ich wäre unendlich dankbar, da ich durch solche vorgerechneten Beispiele am besten lernen kann. Leider habe ich die Lösungen nicht.

Von zwei Peilstationen A und B an der Küste werden der Kurs und die Geschwindigkeit eines Schiffes bestimmt.
Dazu wird der Standort des Schiffes im zeitlichen Abstand von 10 Minuten angepeilt. Die Entfernung der Peilstationen beträgt AB = 10km. Der Standort des Schiffes in C wird durch die Winkel ∠BAC=81,20° und ∠ABC=59,20° bestimmt. Nach 10 Minuten wird der Standort D durch die Winkel ∠BAD=69,10° und ∠ABD=74,00° bestimmt.

Berechnen Sie die Normalabstände des Schiffes von der Küste (zu beiden Zeitpunkten), sowie die zurückgelegte Strecke CD, den Kurswinkel ε und die Geschwindigkeit.

Answer 1

Aus den gegebenen Winkelgrößen (Skizze!) bestimmt man den Winkel gamma bei C und den Winkel delta bei d.

gamma = 180 ° - 81,2 ° - 59,2 ° = 39,6 °

delta = 180 ° - 69,1 ° - 74 ° = 36,9 °

Daraus kann man nun mit Hilfe des Sinussatzes die Längen der Strecken AC und AD bestimmen (man kann auch die Längen der Strecken BC und BD berechnen, aber das wird nicht verlangt und ist für die Lösung der Aufgabe (vermutlich) auch nicht erforderlich).

Es gilt:

AC / sin 59,2 ° = c / sin 39,6 °

<=> AC = 10 * sin 59,2 ° / sin 39,6 °

<=> AC = 13,475 km

AD / sin 74 ° = c / sin 36,9 °

<=> AD = c * sin 74 ° / sin 36,9 °

<=> AD = 10 * sin 74 ° / sin 36,9 °

<=> AD = 16,010 km 

 

Zur Bestimmung der Normalabstände zur Küste bestimmt man die Beträge der Abweichung der tatsächlichen Peilung von Peilstation A zu den Positionen C bzw. D von der 90 ° - Peilung. Man erhält für die

Position C: 90 °  - 81,2 ° = 8,8 °

Position D: 90 ° - 69,10 = 20,9 °

Der Normalabstand dC bzw. dD ist nun jeweils der Kosinus dieser Winkel multipliziert mit der Länge der Strecke AC bzw. AD. Es ergibt sich

dC = 13,475 * cos 8,8 = 13,163 km

dD = 16,01 * cos 20,9 ° = 14,957 km

 

Die zurückgelegte Strecke CD kann mit dem Kosinussatz aus der Differenz der beiden Peilungen von Peilstation A und den Längen der Strecken AC und AD berechnet werden, da diese diesen Differenzwinkel einschließen, also:

CD ² = AC ² + AD ² - 2 * AC * AD * cos ( 81,2 ° - 69,1 ° )

= 13,475 ² + 16,01 ² - 2 * 13,475 * 16,01 * cos ( 12,1 ° )

= 16,012

<=> CD = √ 16,012 ) = 4,002 km

Diese Strecke hat das Schiff in 10 Minuten zurückgelegt, sodass es also in einer Stunde

6 * 4,002 km = 24,009 km

zurücklegt hat, also mit eine Durchschnittsgeschwindigkeit von

v = 24,009 km / h

gefahren ist.

 

Was unter einem "Kurswinkel epsilon" zu verstehen ist, weiß ich nicht, ich bin schließlich kein Nautiker. Wenn du das noch definieren würdest ...

Comments

vielen dank ! ich rechne es mal nach und schau ob mir irgendwas unklar ist ! :)

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was genau ist unter "normalabstände" zu verstehen. ist mir nicht ganz klar.

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und warum nehm ich für den normalabstand peilstation A ??
welche seite ist denn nun "d" ?

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"Die zurückgelegte Strecke CD kann mit dem Kosinussatz aus der Differenz der beiden Peilungen von Peilstation A und den Längen der Strecken AC und AD berechnet werden, da diese diesen Differenzwinkel einschließen, also:

CD ² = AC ² + AD ² - 2 * AC * AD * cos ( 81,2 ° - 69,1 ° )

= 13,475 ² + 16,01 ² - 2 * 13,475 * 16,01 * cos ( 12,1 ° )

= 16,012"


und das versteh ich leider gar nicht mehr... bitte um hilfe :(((

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ok, das untere ist der cosinus-satz. 
das ist nun klar.

aber dieser abschnitt nicht. was ist "d" und warum nehme ich nur peilstation A ? was ist genau unter "normalabstand" zu verstehen und wie sieht das graifsch aus ?

"Zur Bestimmung der Normalabstände zur Küste bestimmt man die Beträge der Abweichung der tatsächlichen Peilung von Peilstation A zu den Positionen C bzw. D von der 90 ° - Peilung. Man erhält für die

Position C: 90 °  - 81,2 ° = 8,8 °

Position D: 90 ° - 69,10 = 20,9 °

Der Normalabstand dC bzw. dD ist nun jeweils der Kosinus dieser Winkel multipliziert mit der Länge der Strecke AC bzw. AD. Es ergibt sich

dC = 13,475 * cos 8,8 = 13,163 km

dD = 16,01 * cos 20,9 ° = 14,957 km"

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ps: das ist das ganze beispiel. was mit epsilon gemeint ist weiß ich nicht, aber ich denke das wird ein winkel sein im Dreieck ACD

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was genau ist unter "normalabstände" zu verstehen. ist mir nicht ganz klar.

Als "Normale" wird eine Gerade bezeichnet, die senkrecht auf einer anderen Geraden (oder allgemeiner: auf einer anderen Kurve) steht. Die Normale ist die kürzeste Entfernung zwischen der Kurve und einem Punkt. Vorliegend ist der Punkt das Schiff und die Gerade die Küstenlinie. Der Normalabstand des Schiffes von der Küste ist also dessen kürzester Abstand von der Küstenlinie. 

und warum nehm ich für den normalabstand peilstation A ??
welche seite ist denn nun "d" ?

Man hätte die Normalabstände auf ähnliche Weise auch von Peilstation B aus berechnen können - ich habe mich einfach für Station A entschieden. Von einer "Seite d" habe ich nichts geschrieben ... ?

Aber du hast recht, ich habe das ein wenig zu kompliziert ausgedrückt und auch gerechnet. Vergiss das alles - ich versuche es mal anders:

Ich zeichne von den beiden Positionen des Schiffes aus jeweils eine Senkrechte zur Küstenlinie. Die Länge dieser Senkrechten zwischen Schiff und Küstenlinie ist der Normalabstand des Schiffes. Da diese Gerade senkrecht auf die Küste trifft (bei Punkt N₁ bzw. N₂) sind die Dreiecke AN₁C  bzw. AN₂D jeweils rechtwinklig, sodass man einfach mit dem Sinus rechnen kann. Es gilt:

CN₁ / AC = sin 81,2 ° <=> CN₁ = AC * sin 81,2 ° = 13,316 km

DN₂ / AD = sin 69,1 ° <=> DN₂ = AD * sin 69,1 ° = 14,957 km

 

Die zurückgelegte Strecke CD kann mit dem Kosinussatz aus der Differenz ...

 

Ich habe zu dieser Aufgabe noch eine Skizze erstellt. Vielleicht erkennst du daran besser, wie ich gerechnet habe.

Die Peilungen AC und AD schließen einen Winkel von 12,1 ° ein (siehe Skizze). In einer solchen Situation (zwei Seiten und ein von diesen eingeschlossener Winkel) kann man die Länge der dritten Seite des Dreiecks (hier also die zurückgelegte Strecke CD) mit dem Kosinussatz berechnen. Dieser gilt für beliebige Dreiecke (nicht nur für rechtwinklige) und besagt:

c ² = a ² + b ² - 2 a b * cos (gamma)

Angewandt auf das vorliegende Beispiel ergibt sich:

CD ² = AC ² + AD ² - 2 * AC * AD * cos ( 12,1 ° )

= 13,475 ² + 16,01 ² - 2 * 13,475 * 16,01 * cos ( 12,1 ° )

= 16,012

und daraus ergibt sich für die Länge der Strecke CD:

CD = √ ( 16,012 ) = 4,002 km

Ich fürchte, einfacher kann ich das nicht erklären.

Schau dir auch die Skizze an, die man hoffentlich erkennen kann und vergleiche die im Text angegebenen Seiten und Winkel mit denen in der Skizze.

 

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vielen dank! ich konnte alle schon nachrechnen und nun auch alleine lösen.

die frage ansich:
"berechnen sie die normalabstände des schiffes von der küste (zu beiden zeitpunkten)"
ist mir noch nicht ganz klar.


"Position C: 90 °  - 81,2 ° = 8,8 °

Position D: 90 ° - 69,10 = 20,9 °"

ist mir klar, was mir aber nicht klar ist:

"dC = 13,475 * cos 8,8 = 13,163 km

dD = 16,01 * cos 20,9 ° = 14,957 km"

warum genau benutze ich hier den kosinus ? ich denke ich hab hier allgemein ein verständnisproblem.
kann mir unter "normalabstände" leider gar nichts vorstellen

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die frage ansich:
"berechnen sie die normalabstände des schiffes von der küste (zu beiden zeitpunkten)"
ist mir noch nicht ganz klar.

Lass dich nicht von dem Begriff "Normalabstand" verwirren. Gemeint ist tatsächlich einfach die kürzeste Entfernung des Schiffes von der Küste, und zwar einmal von der Position C aus gemessen und einmal von der Position D aus.  

"dC = 13,475 * cos 8,8 = 13,163 km

dD = 16,01 * cos 20,9 ° = 14,957 km"

 

Da habe ich schlechte Bezeichnungen gewählt. Mit dC meinte ich den Abstand (distance) d zwischen der Küstenlinie und dem Punkt C. In der Skizze ist das die Länge der Strecke CN_1, also der Normalabstand (= kürzester Abstand) des Punktes C von der Küstenlinie. 

Mit dD meinte ich dementsprechend den Abstand zwischen der Küstenlinie und dem Punkt D.  In der Skizze ist das die Länge der Strecke DN_2, also der Normalabstand (= kürzester Abstand) des Punktes D von der Küstenlinie. 

Ich habe auch zu kompliziert gerechnet, indem ich zunächst den Winkel ACN₁ bestimmt habe (8,8°) und dann mit dem Kosinus dieses Winkels gerechnet habe (Die Seite CN₁ ist Ankathete dieses Winkel und die Seite AC ist die Hypotenuse. Deshalb gilt:

CN₁ / AC = cos ( 8,8 °) <=> CN₁ = AC * cos ( 8,8 ° ) = 13,316 km 

(hier hatte ich auch noch einen Tippfehler).

In meinem vorangegangenen Kommentar habe ich statt dessen mit dem Sinus des Winkels CAN₁ gerechnet (81,2 °) , der schon bekannt war und dessen Gegenkathete die Seite CN₁ ist. Es gilt dann:

CN₁ / AC = sin ( 81,2 °) <=> CN₁ = AC * sin (81,2 °) = 13,316 km

Ebenso habe ich es mit der Strecke DN₂ und dem Winkel 69,1 ° gemacht.

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ahhh, jetzt ist alles klar. 

"also der Normalabstand (= kürzester Abstand) des Punktes C von der Küstenlinie" und das ist eben genau eine gerade im rechten winkel zur küstenlinie.

super, danke. hab das ganze beispiel nun verstanden ! :)