Begründen Sie die Existenz eines Maximums und Minimums von f

Question

Wie begründe ich die Existenz vom Maximum Minimum ?

Und wie berechne ich mit der Begründung von Maximum und Minimum von f ?

Answer 1

Der Nenner hat keine reellen Nullstellen.

Also ist f eine auf dem kompakten Intervall [-1;3] überall

definierte stetige Funktion.

Die hat Max und Min.. siehe etwa

https://www.math.uni-sb.de/ag/wittstock/lehre/WS00/analysis1/Vorlesung/node57.html

Comments

woher sieht  man nochmal das es keine reelle nullstelle hat ?

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Hm... hätte der Nenner Nullstellen im Intervall \(\left[-1,3\right]\), dann wäre die Funktion gar nicht wohldefiniert, womit daher insbesondere auch keine Funktion gegeben sein würde. Die erste Zeile ist also eigentlich überflüssig, oder?

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woher sieht  man nochmal das es keine reelle nullstelle hat ?

Setze den Nenner gleich 0, die Gleichung hat

(z.B. mit pq-Formel zu erkennen) keine Lösung.

Answer 2

Wie begründe ich die Existenz vom Maximum Minimum ?

Die Funktion ist stetig. Und es gibt einen Satz, der sagt: jede stetige Funktion auf einem Kompaktum (hier: abgeschlossenes Intervall) nimmt ein Minimum/Maximum an.

Und wie berechne ich mit der Begründung von Maximum und Minimum von f ?

Lokale Minima und Maxima durch Ableitung Nullsetzen bestimmen. Dann noch auf Randextrema untersuchen.

Comments

Wie begründe ich die Existenz vom Maximum Minimum ?

wie schon beantwortet ist sie stetig weil es x^2 + x+ 4 keine reelle nullstelle hat aber woran sehe ich das ?

Und wie berechne ich mit der Begründung von Maximum und Minimum von f ?


f^' (x)=0 wenn  x ∈ ]-1,3[ eine extremstelle ist nur hänge ich mit dem gedanken fest wie gehts weiter ?

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Unstetig könnte es werden, wenn x^2+x+4=0 auf dem Intervall gilt.

Es ist aber

x^2+x+4=(x+1/2)^2+4-1/4=(x+1/2)^2+3.75 >0 für alle x

Berechne nun erstmal die lok. Extremstellen, setzte diese Stellen in die Funktion ein um die Funktionswerte zu bekommen. 

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-x² + 4 / (x² + x + 4)² = 0

wie löse ich das jetzt auf ? eigentlich müssen ja 2 lösungen kommen könntest du mir das schritt für schritt erklären ?

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-x^2 + 4 / (x^2 + x + 4)^2 = 0 | *(x^2+x+4)^2

-x^2+4=0

x^2=4

x=±2

Answer 3

Vielleicht einmal eine konventionelle Antwort

1.Zeile : Funktion
2. und 3.Zeile : Funktionswerte am Rand
( -1 |-0.25 )
( 3 | 0.1875 )
4.) 1.Ableitung
5.) Zeile : Extremewerte bei
x = -2 ( nicht im Intervall )
und
x = 2
6.Zeile : Funktionswert bei x = 2
( 2 | 0.2 )

Minimum ( -1 |-0.25 )
Maximum  ( 2 | 0.2 )

Comments

( x^2 - 4 ) / (x^2 + x + 4)^2 = 0

Ein Bruch ist dann 0 wenn der Zähler 0 ist.
also
x^2 - 4  = 0
x= 2
x =-2