Zu b) : Da sin(x) ≤ 1 für alle x ∈ ℝ, ist die Ungleichung für x>1 sicherlich erfüllt.
Sei nun 0 < x ≤ 1
Betrachte f(x) = sin(x) - x 1 .
Dann gilt nach dem Mittelwertsatz
f(x) - f(0) / ( x-0 ) = f ' (z) für ein z zwischen 0 und x.
==> ( sin(x) - x - 0 ) / (x-0) = f ' (z)
==> ( sin(x) - x ) / x = cos(z) - 1
Und da z zwischen 0 und x, also auch zwischen 0 und pi liegt,
ist sicherlich cos(z) < 1 und damit cos(z) - 1 < 0 .
Dann folgt aus ( sin(x) - x ) / x = cos(z) - 1 aber auch
( sin(x) - x) / x < 0 und weil x positiv ist
sin(x) - x < 0
also sin(x) < x q.e.d.
