Existieren die folgenden Grenzwerte? Wenn ja, welche sind es? (ohne l’Hospital!) (x^2 + x -2)/(x-1)^2

Question

könnte einer mir verraten wie ich die Aufgabe ohne l'Hospital lösen kann?

$$ \begin{matrix} lim \\ x\rightarrow 1 \end{matrix}\quad \frac { x^{2}\quad +\quad x\quad -\quad 2 }{ (x-1)^{2} } $$

Comments

Lautet die Aufgabe wirklich so?

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 Ja die Aufgabe habe ch genau so abgeschrieben

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Vielleicht so:

$$ \lim_{x\to1} \dfrac { x^2 + x - 2 }{ (x-1)^2 } $$

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 Ja genau so!

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Ich habe die Exponenten entsprechend angepasst.

Answer 1

ein möglicher (aber nicht der geschickteste) Weg:

$$ \frac{ x^2 + x - 2 }{(x-1)^2}$$
$$ \frac{ x^2 + x - 2 }{x^2-2x+1}+\frac{  -3x +3 }{x^2-2x+1}-\frac{  -3x +3 }{x^2-2x+1}$$
$$ \frac{ x^2 + x -3x - 2 +3}{x^2-2x+1}-\frac{  -3x +3 }{x^2-2x+1}$$
$$ \frac{ x^2  -2x +1}{x^2-2x+1}+\frac{  3x -3 }{x^2-2x+1}$$
$$1+\frac{  3x -3 }{x^2-2x+1}$$
$$1+3\cdot \frac{  x -1 }{(x-1)^2}$$
$$1+3\cdot \frac{  1 }{x-1}$$
$$\lim_{x\rightarrow 1} \,  \frac{  1 }{x-1}=\frac{  1 }{1-1}=\frac{  1 }{0}\rightarrow \infty$$

Achtung wegen der Kürzung von (x-1) entstehen unterschiedliche Grenzwerte (rechtsseitig und linksseitig)

Comments

Oder man fängt das so an:

rechtsseitiger:

$$\lim_{h\rightarrow 0} \,  \frac{ (x+h)^2 + (x+h) - 2 }{((x+h)-1)^2}$$

linksseitiger:

$$\lim_{h\rightarrow 0} \,  \frac{ (x-h)^2 + (x-h) - 2 }{((x-h)-1)^2}$$

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Hm... offensichtlich ist \(x=1\) eine doppelte Nennernullstelle, aber nur eine einfache Zählernullstelle. Einen Grenzwert für \(x\rightarrow 1\) gibt es also nicht.

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Es gibt keinen exakten Grenzwert, sondern es handelt sich um eine Polstelle der Funktion und deswegen haut's eben nach plusminusunendlich ab.

Wenn der Schüler als Antwort hinschreiben würde

"Einen Grenzwert für x→1 gibt es also nicht."

wäre das sicher nicht die Antwort, die das Maximum der möglichen Punkte erreicht, nehme ich mal an.

Da wir wie üblich weder Hintergrund, noch Niveau noch exakte Fragestellung kennen, ist es nicht einfach die vom Fachpädagogen erwünschte Antwort zu formulieren.

Aber einige Anregungen hat der Fragesteller nun schon mal bekommen ...

Answer 2

Vorschlag: Einstieg nach Vieta (das lernt man früher als die Polynomdivision (ca. 9. Klasse), wenn im Lehrplan oder genug Zeit). 

(x^2 + x -2)/(x-1)^2      | überlege: -2 = 2*(-1) und 2 + (-1) = 1.
= ((x-1)(x+2))/(x-1)^2
= (x+2)/(x-1)

An der Stelle x=1 hat der Nenner eine einfache Nullstelle und der Zähler ist nicht 0. D.h. x=1 ist eine Polstelle mit Vorzeichenwechsel. Der Grenzwert lim_(x->1) (x^2 + x -2)/(x-1)^2 existiert nicht. 

Answer 3

Mache eine Polynomdivision dann bekommst
du die 6.Zeile der anderen Antwort heraus.