Was ist der Wertebereich der Funktion f(x) = x*e^x?

Question

Bin grade mit meiner Kurvendiskussion fertig geworden, allerdings habe ich das Gefühl das meine Wertemenge nicht stimmt. Sie lautet 

Wf = [ -e^{-1} ; ∞ [ 

Ich denke es müsste stimmen. Dass das mit Unendlich stimmt weiß ich da ich das beim Verhalten im Unendlichen errechnet habe. 

Danke ! 

Answer 1

~plot~ x*(e^x) ~plot~

Dein Ergebnis ist richtig. Rechnerisch würde ich es so machen:

$$f(x)=x\cdot e^x\\f´(x)=(x+1)\cdot e^x\\f´´(x)=(x+2)\cdot e^x\\f´(x)=0\\(x+1)\cdot e^x\\x=-1\\f´´(-1)\approx 0,36>0 \ => \text{Tiefpunkt}\\f(-1)=-{e}^{-1}\\=> Wf=[-{e}^{-1}\mid \infty)$$

So, ich hoffe das hilft dir weiter.

Smitty

Answer 2

Allgemein zur Bestimmung des Wertebereichs:

Funktionswerte an den Rändern des Definitions-
bereichs berechnen.
Extrempunkte berechnen

Hier
( - ∞ | 0 )
( ∞ | ∞ )
Tiefpunkt ( -1 | - e^ (-1) )
oder auch
Tiefpunkt ( -1 | - 0.368 )

tiefsten und höchsten Wert herausfiltern
W = [ -0.368 ; ∞ [