Ableitung - Warum gelten diese Bedingungen?

Question

 

Ich verstehe nicht wie man auf solche Bedingungen kommt. 

Extrema : 

 f‘‘(x) > 0 => TP

 f‘‘(x) < 0 => HP 

Wendestellen : 

Hier geht es um die RL bzw. LR Bedingungen. 

Das mit dem Nullsetzen habe ich verstanden, aber den Rest nicht so. Mir fehlt ein Puzzle Teil. 

Danke !

Answer 1

f'(x) = 0 und f''(x) > 0 => TP

Denk an den Mund bei einem positiven Smiley. Der ist auch positiv (links-) gekrümmt.

f'(x) = 0 und f''(x) < 0 => HP

Denk an den Mund bei einem negativen Smiley. Der ist auch negativ (rechts-) gekrümmt.

f''(x) = 0 und f''(x) > 0 WP mit RL-Krümmungswechsel

f''(x) = 0 und f''(x) < 0 WP mit LR-Krümmungswechsel

Comments

Aber wie kommt man auf diese Bedingungen bzw. wie kann ich es mir herleiten. Das mit dem Smiley ist eine schöne Eselsbrücke, aber ich versteh es einfach nicht. 

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f'(x) = 0 und f''(x) > 0 bedeutet der Graph der Steigung hat eine Nullstelle und verläuft dort Steigend durch die x-Achse, d.h. von Minus nach Plus.

D.h. vorher hat man eine negative Steigung also fallend. Dann ist die Steigung kurzfristig 0 und nachher ist es eine positive Steigung.

Du wirst bemerken, das dies ein Tiefpunkt beschreibt oder?

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Irgendwie schon. Also muss ich nur diese Tatsache auf den Hochpunkt übertragen und dann hab ich den Punkt. 

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Genau.Eigentlich ist das nicht so wild.

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Vielen Dank, jetzt bin ich mit allen Funktionstypen durch die man in der Schule hat. 

Answer 2

Schau dir mal die Graphen an.

~plot~ x^3-2x;3x^2-2;6x ~plot~

Blau ist f(x)

Rot ist f´(x)

Grün ist f´´(x)

Da siehst du, dass bei einem Hochpunkt die 2. Ableitung negativ ist und bei einem Tiefpunkt positiv.

Ist das die Antwort auf deine Frage? 

Gruß

Smitty 

Comments

Ist f3 nicht 6x?

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ja, ist geändert. Also f´´(x)=6x

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Meine Frage war nur wie man auf diese Bedingungen kommt. Ich möchte nicht die Bedingungen auswendig lernen, ist auch unsinnig.