Hi,
du denks vollkommen richtig. Allerdings musst du das vielleicht etwas "sauberer" aufschreiben.
Umstellen der Ausgangsreihe (wie bei dir):
$$ \sum _{ n=1 }^{ \infty }{ \frac { { 2 }^{ n } }{ { \left( 4+n \right) }^{ n } } } =\sum _{ n=1 }^{ \infty }{ { \left( \frac { 2 }{ 4+n } \right) }^{ n } } $$
Anwendung des Wurzelkriteriums aus Vorlesung oder anderer Quelle:
$$ \lim _{ n\rightarrow \infty }{ \sqrt [ n ]{ \left| { a }_{ n } \right| } } =\lim _{ n\rightarrow \infty }{ \sqrt [ n ]{ \left| { \left( \frac { 2 }{ 4+n } \right) }^{ n } \right| } } =\lim _{ n\rightarrow \infty }{ \frac { 2 }{ 4+n } = } \lim _{ n\rightarrow \infty }{ \frac { \frac { 2 }{ n } }{ \frac { 4 }{ n } +\frac { n }{ n } } } =0 $$
$$ \lim _{n\to\infty} \sqrt[n\:]{\left| { a }_{ n } \right|} \begin{cases} < 1 & konvergiert \\ = 1 & keine Aussage \\ > 1 & divergiert \end{cases} $$
Antwort:
Da 0 < 1 folgt aus dem W. Kriterium eine absolute Konvergenz
Für die Formelsammlung:
$$ \sum _{ n=1 }^{ \infty }{ { a }_{ n } } $$
$$ \lim _{ n\rightarrow \infty }{ \sqrt [ n ]{ \left| { a }_{ n } \right| } } $$
$$ \lim _{ n\rightarrow \infty }{ \sqrt [ n ]{ \left| { a }_{ n } \right| } } <\quad 1\rightarrow konvergiert $$
$$ \lim _{ n\rightarrow \infty }{ \sqrt [ n ]{ \left| { a }_{ n } \right| } } >\quad 1\rightarrow divergiert $$
$$ \lim _{ n\rightarrow \infty }{ \sqrt [ n ]{ \left| { a }_{ n } \right| } } =\quad 1\rightarrow keine\quad Aussage $$
