Beweisen Sie: 5/4 ≤ Σ_{n=1}^{∞} 1/n² ≤ 7/4

Question

Wir wissen schon, dass die Reihe $$ \sum _{ n=1 }^{ \infty  }{ \frac { 1 }{ { n }^{ 2 } }  } $$ konvergiert.

Beweisen Sie: $$ \frac { 5 }{ 4 } \le \sum _{ n=1 }^{ \infty  }{ \frac { 1 }{ { n }^{ 2 } }  } \le \frac { 7 }{ 4 }  $$

Answer 1

$$(1)\quad\sum_{n=1}^\infty\frac1{n^2}\ge1+\frac14=\frac54.$$$$(2)\quad\sum_{n=1}^\infty\frac1{n^2}\le1+\frac14+\sum_{n=3}^\infty\frac1{n^2-n}=\frac54+\sum_{n=3}^\infty\left(\frac1{n-1}-\frac1n\right)=\frac54+\frac12=\frac74.$$MfG

Comments

Kannst du evetuell (2) nochmal etwas ausführlicher beschreiben? Woher kommt zum Beispiel das     -n unter dem Bruchstrich? Und wie kürzt du zum schluss n raus? oO

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Die Reihe soll nach oben abgeschätzt werden. Deswegen wird der Nenner verkleinert:
\(\tfrac1{n^2}<\tfrac1{n^2-n}=\tfrac1{n-1}-\tfrac1n\). Der Wert der dadurch neu entstandenen Reihe lässt sich leicht berechnen. Bei \(\sum_{n=3}^\infty\left(\tfrac1{n-1}-\tfrac1n\right)\) handelt es sich um eine sog. Teleskopsumme, d.h. alle Summanden außer dem ersten addieren sich zu Null, sodass nur noch \(\tfrac12\) stehen bleibt.