Wie weiss ich, ob das Kreuzprodukt positiv oder negativ sein muss?

Question

ich weiss wie man allgemein das kreuzprodukt bildet, aber ich frage mich jedes mal, welchen vektor ich zuerst nehmen muss? gibt es da eine erklärung oder regel?

Answer 1

> ob das kreuzprodukt positiv oder negativ sein muss?

Das Kreuzprodukt  ist weder positiv noch negativ. Das Kreuzprodukt liefert einen Vektor. Es ist sinnlos, Vektoren in positive und negative Vektoren zu unterteilen.

> welchen vektor ich zuerst nehmen muss?

Das ist egal. Du musst nur das Ergebnis korrekt interpretieren. Die Vektoren a, b, und a×b bilden ein sogenanntes Rechtssystem. Das heißt

        Zeigt der Daumen der rechten Hand in Richtung a und

        zeigt der Zeigefinger der rechten Hand in Richtung b und

        zeigt der Mittelfinger der rechten Hand senkrecht zu a und b,

        dann zeigt der Mittelfinger der rechten Hand in Richtung a×b.

Übrigens gilt Antikommutativität:

        a×b = -(b×a).

Comments

Wenn ich dadurch den nullvektor für die Darstellung einer ebene bilden möchte ist die Richtung also egal?

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> Wenn ich dadurch den nullvektor für die Darstellung einer ebene bilden möchte

Du meinst wahrscheinlich den Normalenvektor.

> ... ist die Richtung also egal

Nun ja, a×b und b×a zeigen in genau entgegengesetzte Richtungen. Weil  a×b senkrecht zu sowohl a, als auch b ist, ist auch b×a senkecht zu sowohl a, als auch b. Und darauf kommt es ja bei der Normalenform an.

Wenn du also eine Ebene x = s + ka + ib in die Nomalenform überführen möchtest, dann sind sowohl a×b als auch b×a geeignete Normalenvektoren.