LösenSie die DGL durch Substitution

Question

Ich weiß nicht wie ich diese DGL mit Subst. lösen soll:

Answer 1

z= x+2y

y=1/2( z-x)

y '= 1/2 (z' -1)

eingesetzt in die Aufgabe:

1/2 (z' -1) = 1/z  |*2

z' -1= 2/z

z' = 2/z +1 ->Trennung der  Variablen

Comments

Leider komme ich nicht auf das Ergebnis :(

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z' =( 2/z)+1 bis dahin stimmt es.

So geht es weiter:

z' = (2+z)/z

dz/dx= (2+z)/z

∫ z/(2+z) dz= ∫ dx

usw.

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Leider komme ich immer noch nicht auf das Endergebnis...

Warum nehmen Sie nochmal z  im Nenner auf?

integral z/(2 + z) dz = z - 2 *log(z + 2) + c

Könnten Sie mir bitte einen ausführlichen Lösungsweg zeigen? Ich schreibe morgen die Prüfung und würde das gerne nachvollziehen können.

Vielen herzlichen Dank!

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 weiter komme ich nicht :(

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Hallo Tigergirl,

> Warum nehmen Sie nochmal z  im Nenner auf?

z' = 2/z + 1  =  2/z + z/z  =  (2+z) / z

dz/dx = (2+z) / z   | * dx | * z | : (2+z)

 z/(2+z) dz = 1 dx

Jetzt hat man die Variablen getrennt und kann auf beiden Seiten integrieren:

> ∫ z/(2 + z) dz = z - 2 * ln(z + 2) + c

   Könnten Sie mir bitte einen ausführlichen Lösungsweg zeigen?

∫ z / (z+2) dz = ∫ 1 dx      (z ≠ -2) 

Links Polynomdivision:

∫ ( 1 - 2 / (z + 2) dz  =  ∫ 1 dx   

   z  -  2 * ln(z + 2) + c  = x     

Resubstitution:

x + 2·y - 2·LN(x + 2·y + 2) + c  =  x

 2·y - 2·LN(x + 2·y + 2) + c  =  0

Einen Weg, diese Gleichung explizit nach y aufzulösen sehe ich aber leider nicht.

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Danke, aber das führt mich nicht zum Endergebnis der Musterlösung:

y(x)=-1 - x/2

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y(x) = -1 - x/2   ist in jedem Fall eine Lösung:

y' = -1/2

Beides in die DGL einsetzen:

-1/2 =  1/(2·(-1 - x/2) + x)  

-1/2 = -1/2 

Aber die Substitution von GrosserLoewe funktioniert hier nicht:

z = x + 2y = x + 2 * (-1 - x/2)  = - 2  

und genau z = -2  muss man bei der Trennung der Variablen wegen der Division durch 0 ausnehmen (vgl. meinen 1. Kommentar).

 z = -2 muss also getrennt behandelt werden:

 z = x + 2y = -2  →   y = - 1 - x/2 

Die DGL reduziert sich damit zu  -1/2 = -1/2 

Aber das muss ja nicht die allgemeine Lösung sein! 

wolframalpha gibt hier Folgendes an:

https://www.wolframalpha.com/input/?i=y%27+%3D+1%2F(x%2B2y)

Leider weiß ich nicht, was W(...) bedeuten soll.

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Ok, vielen lieben Dank, Wolfgang!

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@Tigergirl,

Ich geh mal davon aus, das Du jetzt meine Hilfe nicht mehr brauchst.

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Hallo Grosserloewe,

wenn Du weißt wie man auf das Endergebnis als allgemeine Lösung drauf kommt, würde ich sehr gerne Deinen Ansatz sehen :-)

Wolfang bestimmt auch?

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So kommst Du ans Ziel . Das mit der Substitution habe ich

nur getan,weil Du es so wolltest.Die Lösung geht über die exakte DGL, übrigens ohne Tricks oder sowas.

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2.Teil:

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OK, das verstehe ich noch besser.

Gut, dass ich darauf bestand ^_^

Ich hoffe, dass ich das morgen in der Klausur erkenne...

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Alles Gute , geübt hast Du ja genug

:-)

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Wie geht es Dir?

Hast Du die Klausur überstanden?

Über eine Antwort würde ich mich sehr freuen.

Du mußt natürlich nicht antworten.

Der Grosse Löwe

:-)

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sehr nett, dass Du nachfragst.

Leider habe ich dank meiner Prüfungsangst die Klausur nicht bestanden :( Also muss ich im Sommer nochmal schreiben.

War am Dienstag bei der Einsicht, habe alles richtig identifiziert, aber in jeder 2. Zeile mind. 1 Flüchtigkeitsfehler eingebaut...

Wollte mich eigentlich eher melden, aber ich bin noch im Prüfungsstress (morgen Quantenmechanik XD)

Liebe Grüße und nochmals herzlichen Dank für Deine Hilfe!

Luna

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tut mir sehr Leid für Dich , geübt hast Du ja genug.

Lass den Kopf nicht  hängen, das wird schon.

Wenn ich noch was helfen kann , sag es mir.

Liebe Grüsse 

Georg

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Ja, ich werde im kommenden Semester Mathe 3 und 4 schreiben müssen...wobei Numerik leichter sein soll...

Answer 2

der Knackpunkt liegt in der AWB, ansonsten muss man hier ja mit Lambert-W rumfummeln was unschön ist ;)

$$ y'=\frac{1}{x+2y}\\z=x+2y\\z(0)=-2\\z'=1+2y'\\y'=\frac{z'-1}{2}\\z'=\frac{2}{z}+1\\z'=\frac{z+2}{z}\\dx=\frac{zdz}{z+2}\\\int_{0}^{x}dx=\int_{-2+\epsilon}^{z}\frac{zdz}{z+2}\\x=z- 2 *log(z + 2) -(-2+\epsilon)+2*log(\epsilon)\\x=z+2-\epsilon-2log(\frac{z+2}{\epsilon})\\ $$

für ε---> 0 soll x=0 erfüllt sein. Das kann aber höchsten erfüllt sein, wenn gleichzeitig 

(z+2)/ε---> constant strebt, da ansonsten der ln-Term divergiert.

Also ist z=c*ε-2

erneutes einsetzen in die letzte Bestimmungsgleichung liefert nun

0=c*ε-ε-2log(c)

0=(c-1)ε-2log(c) ---> 0=-2log(c) --> c=1

z=-2

x+2y=-2

y=-1-x/2

Comments

Ok, vielen Dank Gast jc2144 !

Eine Frage hätte ich noch: Woher weiß ich, dass ich ε einsetzen muss? Oder ist dies eine Konstante?

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Eine Frage hätte ich noch: Woher weiß ich, dass ich ε einsetzen muss? Oder ist dies eine Konstante?

Also das ist mehr ein Kunstgriff, damit man das Integral überhaupt auswerten kann. Man sagt sich: ok z=-2 darf ich nicht als untere Grenze nehmen (weil es da divergiert)

Also schaut man was passiert, wenn ich die untere Grenze ein klein wenig anhebe zu

-2+ε und dann Grenzübergang  ε --> 0 macht.

ε ist an sich erstmal eine Konstante , wird aber im Grenzübergang variabel. 

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Ah ok, jetzt habe ich das endlich verstanden.

Danke nochmal! Auch wenn ich niemals auf diesen Kunstgriff gekommen wäre XD