Parameter von Funktionsgleichung bestimmen

Question

Bestimmen Sie die Parameter für die Funktionsgleichung f(x)=a*e^b*^x so dass der Graph folgende Eigenschaften hat

A) Der Graph verläuft durch den Punkt P (0/2) und hat dort die Steigung 1

B) Der Graph verläuf durch den Punkt Q (2/5) und hat dort die Steigung -0,5

Es tut mir leid das ich kein eigene Ideen einbringe aber ich weiß wirklich nicht wie die Aufgabe geht.

Answer 1

f(x)=a*e^{b*x}   ==>   f ' (x)=ab*e^{b*x}  

A) Der Graph verläuft durch den Punkt P (0/2) und hat dort die Steigung 1

f(0)=2  und f ' (0) = 1 

2 = a   und   1 = ab  also b=0,5 

f(x) = 2*e^{0,5x}  .

Comments

Jedoch verstehe ich nicht, wieso bei der Ableitung auf einmal ab zusammen geschrieben werden. 

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Kettenregel:  g(x)=e^{b*x}  hätte als Ableitung b*e^{b*x} 

und weil bei deiner Funktion noch der Faktor a davor steht, der beim

Ableiten erhalten bleibt, hast du bei dir f ' (x) = a*b*e^{b*x} .

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Könntest du mir den Rechenweg vielleicht schritt für schritt hin schreiben damit ich es besser nachvollziehen kann? Ich weiß zum Beispiel nicht, wie du auf die 2 und 1 gekommen bist. Oder bei b auf 0.5.

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f(x)=a*e^{b*x}   ==>   f ' (x)=a*b*e^{b*x}  
Das war die Ableitung 
A) Der Graph verläuft durch den Punkt P (0/2)

d.h.   f(0)=2   bzw  2 = f(0)  

und wegen f(x)=a*e^{b*x} also 

                    2  = a*e^{b*0} 

                    2  = a*e^{0}  

                     2  = a*1 

                      2=a  

              und hat dort die Steigung 1 heißt 

                      f ' (0) = 1 bzw  1 = f ' (0) 
                                       1 = a*b*e^{b*0}  

                                      1=a*b*1 wegen a=2 also 

                                     1 = 2*b ==>   b=0,5.

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Ok danke, und wie wäre das bei der b) ?

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Der Graph verläuf durch den Punkt Q (2/5) und hat dort die Steigung -0,5

Entsprechend :  f(2)=5  und f ' (2) = -0,5 

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Könntest du mir zu b auch noch den Rechenweg aufschreiben? Dann bin ich zufrieden und bedanke mich schon mal bei dir!

Answer 2

f ( 2 ) = 5 
f ' ( 2 ) = -0,5

Ableitung e-Funktion
( e ^term ) ´ = e ^term * ( term ´ )
f ( x ) = a * e ^{b*x}
term = b * x
term ´ = b
f ´( x ) = a * e ^{b*x} * b

f ( 2 ) = a * e ^{b*2} = 5
f ´( 2 ) = a * e ^{b*2} * b = -0.5

a * e ^{b*2} = 5
a * e ^{b*2} * b = -0.5 | teilen
----------------------
1 / b = 5 / -0.5
b = -0.5 / 5
b = -0.1

Einsetzen
a * e ^{-0.1*2} = 5
a * e ^{-0.2} = 5
a = 5 / e ^{-0.2}
a = 6.11

Probe
6.11 * e ^{-0.1*2} * (-0.1) = -0.5
Stimmt