Zeigen Sie, dass u=u´und v=v´

Question

Seien U und V Unterräume eines K-Vektorraumes W .

1. Wir nehmen an, dass U∩V={0}. Zeigen Sie, dass aus der Gleichung u+v=u′+v′mit u, u′ ∈ U und v, v′ ∈ V folgt, dass u=u′und v=v′.

2. Wir nehmen an, dass aus der Gleichung u+v= 0 mit u ∈ U und v ∈ V immer u= 0 und v= 0 folgt. Zeigen Sie, dass U∩V={0}

Zu 1.

Da u+v ∈ U∩V ist u+v=0 ⇒u=-v

Ebenso folgt auch u´=-v´

Doch nun weiß ich nicht mehr weiter. Kann mir jemand bei diesen Beweisen helfen?

Comments

Im Allgemeinen ist \( u+v \notin U \cap V \)

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Okay und wie macht man dann den Beweis zu dieser Aussage?

Answer 1

Zu 1. Angenommen u≠u′ und v≠v′, dann gibt es a ∈ U, b ∈ V, mit u'=u+a und v'=v+a  und a,b≠0. Aber u+v=u′+v′, dies bedeutet, 0 = a+b. Ist nur möglich, wenn a=b=0 oder U∩V≠{0}. Beides führt zum Widerspruch.

Zu 2. U∩V ist ein Untervektorraum (als Schnitt von UV). Wir zeigen nun  U∩V ist trivial. Seien x,y  ∈ U∩V beliebige Vektoren. Es gilt x+y ∈ U∩V per Definition UV. Insbesondere x ∈ U und y∈ V.  Folgerung: x=y=0