Koordinatengleichung einer Ebene bestimmen

Question

Wie bestimme ich die Koordinatengleichung der Ebene ABC mit den Punkten

A(4/-2/-2)

B(7/2/4)

C(0/-5/-3)

Answer 1

entweder über die Parameterform oder auch unmittelbar durch Einsetzen der 

Punkte in 

ax+by+cz=d .  Das gibt 

mit d=12 bekomme ich da 

2x-3y+z=12 

Answer 2

 

ich schreibe Vektoren als Zeilen [x₁ , x₂ , x₃ ]

Berechne den Normalenvektor  \(\vec{n}\) = \(\overrightarrow{AB}\) x \(\overrightarrow{AC}\) der Ebene.

\(\vec{n}\) * [x₁ , x₂ , x₃ ]  -  \(\vec{n}\) * [4 , -2 , 2] = 0    ausrechnen.

Das ist dann die Koordinatengleichung der Ebene.

[Zur Kontrolle: \(\vec{n}\) = [14, -21, 7] = 7 * [2, -3, 1] , deshalb kann man auch  [2, -3, 1] nehmen.

E:   2·x₁ - 3·x₂ + x₃ = 12  ]

Gruß Wolfgang