Nach welcher Zeit sind bereits 5 % der produzierten Glühbirnen ausgefallen? (Exponentialverteilung)

Question

Aufgabe:

Beispiel: Glühbirnen haben eine mittlere Lebensdauer von 2000 Stunden. Nach welcher Zeit sind bereits 5 % der produzierten Birnen ausgefallen?

V. Exponentialverteilung

Beschreibung der Wahrscheinlichkeitsverteilung der Lebensdauer in Poisson-Prozessen:

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit \( F \), dass bei einer mittleren Ausfallrate \( \alpha \) ein Gerät nach der Betriebszeit \( t \) noch funktioniert?

Wahrscheinlichkeitsfunktion \( f(t)=\alpha \cdot e^{-\alpha \cdot t}, \quad t \geq 0 \)
Verteilungsfunktion \( \alpha=\frac{\lambda}{t}=\frac{1}{M T B F} \)
\( F(t)=1-e^{-\alpha \cdot t}, \quad t \geq 0 \)

\( \alpha \ldots \) Ausfallrate
\( \lambda \ldots \) durchschnittliche Ausfälle
\( t \ldots \) Zeitdauer MTBF .... Mean Time Between Failure
(Bei \( t= MTBF \) sind \( 1-e^{-1}=63.2 \% \)  der Einheiten ausgefallen.)

Beispiel: Ausfall von technischen Geräten

Problem:

Ich hatte damal als Lösung aufgeschrieben : F(t) = 1- exp(-alpha *t)  = 0,05 => t = 102,6 h .

Leider weiß ich nicht mehr, wie man auf 0,05 bzw. auf 102,6 kommen soll durch diese Rechnung.

Kann mir jemand das mal in mehreren Schritten rechnen?

Answer 1

Die 0,05 sind einfach nur die 5% aus der Aufgabe. Das α ist 1/2000 und dann einfach die Gleichung F(t)=0,05 mittels Logarithmus nach t auflösen:

$$\begin{aligned}1-e^{-\frac{1}{2000}t} &=0,05 \qquad  &&|-1\\-e^{-\frac{1}{2000}t} &=-0,95 &&|\cdot (-1)\\e^{-\frac{1}{2000}t} &=0,95 &&|\ \ln\\-\frac{1}{2000}t &=\ln(0,95) &&|\cdot (-2000)\\t &=-2000\ln(0,95) \\t &\approx 102,6\end{aligned}$$