Funktionsterm einer Polynomfunktion bestimmen

Question

Das Schaubild P einer Polynomfunktion dritten Grades hat den Wendepunkt W(-4|-4) und bei x=-2 einen Extrempunkt.

Die Normale von P in W schneidet die x-Achse an der Stelle x=8.

Bestimme den zugehörigen Funktionsterm.

Kann mir einer bitte ein paar Tipps geben?

Liebe Grüße 

Answer 1

Das Schaubild P einer Polynomfunktion dritten Grades
f ( x ) = a * x^3 + b * x^2 + c * x + d

hat den Wendepunkt W(-4|-4)
f ( -4 ) = -4
f ´´ ( -4 ) = 0

und bei x=-2 einen Extrempunkt.
f ´ ( 2 ) = 0

Die Normale von P in W schneidet die x-Achse an
der Stelle x=8.
f ´( -4 ) Steigung in W
m ( x ) = -1 / f ´ ( -4 ) = Steigung der Normalen
Normale
n ( x ) = m * x + b
n ( x ) =  -1 / f ´( -4 ) * x + b
n ( 8 ) =  -1 / f ´( -4 ) * 8 + b = 0

Mit dieser Aussage kann ich noch nichts anfangen.

Bekanntes bis hierhin

f ( x ) = a * x^3 + b * x^2 + c * x + d
f ´ ( x ) = 3 * a * x^2 + 2b * x + c
f ´´( x ) = 6a * x + 2b
f ( -4 ) = -4
f ´´ ( -4 ) = 0
f ´ ( 2 ) = 0

Comments

n ( 8 ) =  -1 / f ´( -4 ) * 8 + b = 0
f ´( -4 ) = 3 * a * (-4)^2 + 2b * (-4) + c
-8 / [ 3 * a * (-4)^2 + 2b * (-4) + c ] + b = 0

Geht noch weiter

siehe Antwort mathef

f ' ( -4 ) = -3 

Bei Bedarf nachfragen.

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Zur Kontrolle
f(x) = 1/36·x^3 + 1/3·x^2 - 5/3·x - 128/9

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Vielen vielen Dank für die ausführliche Antwort 

Answer 2

f(-4)= -4

f ''(-4) =0

f '(-2) = 0

Die Normale hat die Gleichung:

y= -1/f '(-4) *x +b

0 = -1/ f '(-4) *8 +b

Comments

Hallo Andreas,
da war mathef ein bißchen cleverer als wir.
mfg Georg

Answer 3

f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d 

f ' ' ( -4) = 0 wegen Wendepu.

f (-4) = - 4   Koordinaten von W 

f ' (-2) = 0 wegen Extremum

Die Normale geht durch (-4;-4) und ( 8;0) , hat also die Steigung 4/12 = 1/3 

also ist f ' ( -4 ) = -3 

Das gibt 4 Gleichungen für abcd.

Ich bekomme f(x) = 0,25x^3 + 3x^2 + 9x + 0 

etwa so:

~plot~  0,25*x^3 + 3*x^2 + 9x ;x/3-8/3;[[-20|20|-20|20]] ~plot~

Comments

Vielen vielen Dank ! :)