Polynomfunktion, Graph 3. Grades, symmetrisch zum Ursprung, 2 Punkte gegeben. Funktionsterm bestimmen.

Question

Der Graph K einer Polynomfunktion f 3. Grades ist symmetrisch zum Ursprung und verläuft durch P(6/5,5) und R(3/0,5). Bestimmen Sie den Funktionsterm.
Zeigen Sie, dass es ein t gibt, sodass K der Graph von g mit g(x)= 1/t^{2 .} x³+1/6-3t ^. x

Ich weiß, dass ich mit der Formel f(x)= ax³+cx anfangen soll, weiß aber einfach nicht wie weiter. HAbe versucht die Zahlen einzusetzen, aber das bringt mir irgendwie nichts.

Answer 1

Dein Ansatz ist ja schon sehr gut!

Hier siehst du, wie du nun die Punkte richtig einsetzt:
f(6)= a * 6^3 + c * 6 = 5,5 ->  216 a + 6 c = 5,5
f(3)= a * 3^3 + c * 3 = 0,5 ->    27 a + 3 c = 0,5

Jetzt solltest du die hinteren 2 Funktionen miteinander Lösen können.
Du hast 2 Variable ( a und c ) und 2 "Bedingungen" also 2 Gleichungen.
Das bedeutet, dass du eine exakte Lösung für a und c erhalten kannst :)
Viel Erfolg - das darfst du jetzt machen!

Comments

Wie soll ich die denn miteinander lösen? Additionsverfahren oder so geht nicht und mir fällt nichts anderes ein#

---

Ok, nein. Denke, ich habs verstanden, aber man kommt doch auf so seltsame Zahlen mit vielen Kommastellen oder nicht?

---

Zur Kontrolle
f ( x ) = -0.08333 * x^3 - 0.02777 * x

---

Ich komme nicht auf diese Lösung. Ich muss ja erst beide Gleichungen nach a oder c umstellen und bin dann bei der ersten Gleichung auf c=0,92 -36a gekommen, was aber später noch eine viel komischere Zahl werden wird.

---

Und das ist die richtige Lösung? Ist aber eine seltsame Zahl..

---

Es ist immer schöner, die Werte in Brüchen anzugeben! Dann hast du keine Rundungsfehler!! 

a = (3:108)
c = -(1:12)

Immer als Ergebnis die gefundene Funktion aufschreiben: f(x)=(3:108)x^3 - (1:12)x
Und wenn du dir unsicher bist ob das stimmt oder in der Arbeit noch viel Zeit hast kannst du immer die Gegenprobe machen:

Punkte einsetzen:
f(6) = (3:108)*6^3 - (1:12)*6 = 5,5 (diese 5,5 rechnest du aus - raus kommen sollten natürlich auch 5,5 denn das ist auch der y-Wert unseres Punktes)

f(3) = (3:108)*3^3 - (1:12)*3 = 0,5 (auch hier kommt der y-Wert unseres Punktes raus)
-> Jetzt wissen wir, dass die gefundene Funktion durch die gegebenen Punkte verläuft.

Symmetrietest: f(-x) = -f(x)
 f(-x)=(3:108)*(-x)^3 - (1:12)*(-x)= (auch hier "rechnen" was mit den Minus-Zeichen passiert! Bei der -x^3 bleibt das Minus und kann vor den großen Faktor geschrieben werden, ebenso bei -x) -> -(3:108)*x^3 - [-(1:12)*x] = (jetzt kannst du dir es so vorstellen, dass wir eine -1 ausklammern) -> -1 * [((3:108)*(-x)^3 - (1:12)*(-x)] = -1 *f(x) 
somit wäre auch die Symmetrie bewiesen :)

Fazit: Mit den oben genannten a und c - Werten erfüllt die gefundene Funktion alle Anforderungen!

---

216 a + 6 c = 5,5
27 a + 3 c = 0,5  | * 2

216 a + 6 c = 5,5
54 a + 6 c = 1  | abziehen
------------------
162 * a = 4.5
a = 0.02777

216 * a + 6 * c = 5.5
216 * 0.02777 + 6 * c = 5.5
6 * c = -0.500
c = -0.08333

---

Danke euch! Hat mir sehr geholfen.

---

Es gibt mehrere Möglichkeiten mit den 2 Gleichungen auf die Werte von a und c zu kommen. Ich habe die untere Gleichung mit 2 multipliziert und dann die Subtraktionsmethode angewendet, sodass in der unteren mein c rausgeflogen ist und ich nach a auflösen konnte.
-> 6^3*a+6*c = 5,5
-> 3^3*a+3*c = 0,5    *2
-----------------------------
-> 6^3*a+6*c = 5,5         I
-> 2*3^3a+6c = 1           II
------------------------------
-> 6^3*a+6*c = 5,5
-> (6^3 - 2* 3^3)*a = 4,5 (diese Gleichung erhältst du indem du I - II rechnest -> c fällt weg)
wenn du jetzt auflöst und nicht gleich die Dezimalzahl mit dem Taschenrechner ausrechnest sondern ein bisschen kürzen tust dann solltest du auf meine Brüche oben kommen. Das Ergebnis von a musst du natürlich noch in Gleichung I einsetzen und diese dann nach c auflösen.

Du kannst auch die Einsetz-Methode anwenden, dass du eine Gleichung nach a oder c auflöst und in der anderen diesen Buchstaben ersetzt, sodass du insgesamt nur noch eine Variable hast.
Wir lösen einmal die erste nach c auf: 216a+6c=5,5 -> 6c=5,5-216a -> c= (5,5:6)-36a. Das jetzt in die zweite für c einsetzen ergibt: 27a+3c=0,5 und eingesetzt: 27a+3*[(5,5:6)-36a]=0,5. Diese Gleichung besitzt jetzt nur noch ein a nach diesem können wir auflösen: 27a+3*[(5,5:6)-36a]=0,5 -> 27a + (16,5:6) - 108a=0,5 -> 27a-108a = 0,5-2,75 -> -81a = -2,25 -> a = 2,25:81 -> mit 4 den Bruch rechts erweitern um den doppelten Bruch herauszubekommen -> a = 9:324  und jetzt kannst du kürzen mit 3 -> a = 3:108. Das musst du jetzt noch einmal einsetzen um dein c auszurechnen.

Dann kannst du es so lösen, wie es deine Idee war. Beide Gleichungen nach a oder c auflösen, damit du diese gleichsetzen kannst. Ich löse mal wie du nach c auf. Die erste haben wir oben ja bereits. Hier kommt raus: c= (5,5:6)-36a und bei der anderen 27a+3c=0,5 -> 3c=0,5-27a -> c = (0,5:3) -9a
Diese Beiden setzen wir nun gleich: (5,5:6)-36a = (0,5:3) -9a -> die Brüche jeweils mit 2 erweitern -> (1:6) - 9a = (11:12) - 36a -> 27a = (11:12) - (1:6) -> 27a = (11:12) - (2:12) -> 27a = 9:12 -> a = 3:108. Jetzt wie gewohnt in eine der Gleichungen einsetzen und c errechnen.

Ich hoffe das war jetzt nicht zu verwirrend. Nun hast du allerdings einen Überblick über die Möglichkeiten. Das Ergebnis ist wie du siehst jeweils das selbe. Du musst selbst herausfinden, welche Methode dir die liebste ist :)

---

Hier noch der Vollständigkeit halber die Antwort auf die zweite Frage:

unsere Funktion k(x) = (3:108)     * x^3  - (1:12)        * x
die angegebene g(x)= (1 : (t^2)) * x^3  + (1 : (6-3t)) * x

Die Frage ist, mit welchem Wert für t wir auf unsere Funktion kommen.
Ich habe probiert die Funktionen so darzustellen, dass deutlich wird:
(3:108) = (1 : (t^2))    und    -(1:12) = (1:(6-3t)). 
Wir haben nun 1 Variable (t) und 2 Gleichungen. Das heißt wenn t gesucht wäre könnten wir nur eine Gleichung nach t auflösen um das Ergebnis zu bekommen. Da wir allerdings beweisen sollen, dass dies für ein bestimmtes t gilt -> wir lösen beide Gleichungen auf.

Die einfachste Methode bei Bruchgleichungen ist mit dem gemeinsamen Nenner zu multiplizieren um die Brüche loszuwerden. Dieser ist ganz stupide das Produkt der Nenner.
Also links: (108)*(t^2) und rechts: (6-3t)*(12)

Somit erhältst du: 
(3:108) = (1 : (t^2))    und    -(1:12) = (1:(6-3t))
      108 = 3t^2                               12 = - (6-3t) (Minus-Klammer! Aufgelöst: -6 + 3t)
         36 = t^2                                 18 = 3t 
           6 = t                                         6 = t

Unser Ergebnis: Es gibt ein t (nämlich t=6) welches die Bedingung erfüllt.