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Seien V und W endlich-dimensionale K-Vektorräume und W′⊂W ein Unterraum. Sei f :V→W eine lineare Abbildung.zeigen Zeigen Sie, dass f−1(W′)⊂V ein Unterraum ist und dim f-1(W´)=dim (W´∩ Im (f) ) + dim Kern (f)

f−1(W′) ≠∅

Da W´⊂ W ein Unterraum ist, ist 0 ∈ W´. Es ist f-1(0) =0 da f linear. Somit ist f−1(W′) ≠∅.


Seien g-1, h-1 ∈ f−1(W′). Dann ist (g-1+h-1) (W´)= g-1(W´)+h-1(W´) ∈ f−1(W′)

Außerdem ist (λ f-1) (W´)= λ f-1(W´)∈ f−1(W′) 

Stimmt das so oder wie schreibt man das genauer auf?

Und wie beweist man die Dimensionsformel

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> (g-1+h-1) (W´)

Diese Notation kenne ich nicht.

g-1 und h-1 sind Vektoren aus V. Also ist auch (g-1+h-1) ein Vektor aus V. W´ ist ein Untervektrraum von W. Aber was soll dann (g-1+h-1) (W´) sein?

Seien v1, v2 ∈ f-1(W').

Seien w1, w2 ∈ W' mit f(v1) = w1 und f(v2) = w2. Begründe warum solche w1 und w2 existieren. Verwende sie um zu zeigen dass auch v1+v2 ∈ f-1(W') ist.

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