Aufgabe
Sei K ein Körper und n ∈ N. Eine Matrix A = (ai,j )1≤i,j≤n ∈ Kn×n heißt symmetrisch, wenn ai,j = aj,i für alle
i, j gilt. Eine Matrix A = (ai,j )1≤i,j≤n ∈ Kn×n heißt persymmetrisch, wenn ai,j = an−j+1,n−i+1 für alle i, j gilt.
Sei S = {A ∈ Kn×n | A ist symmetrisch} und P = {A ∈ Kn×n | A ist persymmetrisch}.
(a) Zeigen Sie, dass S ein Unterraum von Kn×n ist.
(b) Bestimmen Sie eine Basis und die Dimension von S.
(c) Genau wie in (a) kann gezeigt werden, dass auch P ein Unterraum von Kn×n ist. Geben Sie (ohne Beweis!)
analog zu (b) eine Basis und die Dimension von P an.
(d) Bestimmen Sie eine Basis des Schnitts S ∩ P.
Problem/Ansatz
Zb bei a weiß ich das es die Unterräume die Axiome erfüllen muss und ich glaube man könnte es vielleicht irgendwie durch die Symmetrie zeigen aber ich weiß leider nicht wie.
Vielen dank
