Lösung durch quadratisches Ergänzen z2-5z-6=0

Question

die folgende Gleichung soll durch quadratisches Ergänzen gelöst werden:

z²-5z-6=0

Die erste Lösung {6} konnte ich ermitteln. Nur komme ich nicht auf die 2. Lösung die {-1} sein soll.

 

Answer 1

z^2-5z-6=0
quadratische Ergänzung : die Hälfte der Vorzahl von
z zum Quadrat

z^2 - 5z + 2.5 ^2 = 2.5^2 + 6
( z - 2.5 ) ^2 = 12.25 | √
z - 2.5 = ± 3.5
z = 3.5 + 2.5 = 6
und
z = - 3.5 + 2.5 = -1

Comments

Georg, kennst du die Wurzel aus 12,25 auswendig? Oder hast du den TR benutzt?

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@Roland: Tipp: multipliziere 12,25 mit 4 bzw. 2^2 - das geht im Kopf

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Georg, Tipp schreibe 12,25=49/4. Das geht auch im Kopf (rechne, wo immer es geht mit Brüchen statt mit Dezimalbrüchen).

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Um die Wuzel aus 12.25 zu bestimmen habe ich
den Taschenrechner eingesetzt. 6 Tastendrücke
waren für das Ergebnis notwendig.
Dies ist die für mich am wenigsten arbeitsauf-
wendige Methode. ich bin nämlich faul.

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Also doch der TR. Mit Brüchen und im Kopf geht es in vielen Fällen aber schneller. Z.B.:  √(1,^(periode)7)

Answer 2

z²-5z-6=0

z²-5z=6 die quadratische Ergänzung ist (5/2)²=25/4

z²-5z+25/4=6+25/4

z²-5z+25/4=49/4

(z-5/2)²=(7/2)²

z.-5/2=±7/2

z₁=6, z₂=-1

Answer 3

z² - 5z - 6 = 0   | + 6 | + (5/2)²   (quadratische Ergänzung) 

z² -  5z  + (5/2)² = 6 + (5/2)² 

2. binomische Formel:

(z - 5/2)² = 24/4 + 25/4  = 49/4   | √ 

z - 5/2 = ± 7/2   | + 5/2

z = 5/2 ± 7/2

z₁ = 12/2  =  6

z₂ = -2/2   =  -1

Gruß Wolfgang