du bist zwar sauer, dass ich zu viele Frage gestellt habe, aber du hast nicht einmal erwähnt, dass man bei komplex konjugierten Eigenwert nur mit einem Eigenwert und Eigenvektor arbeiten kann. Das macht alles viel einfacher.
Wenn irgendjemand mal hier landet, habe ich unten die Lösung. Ein Admin könnte eventuell hier etwas aufräumen. :)
Wir nehmen den ersten Eigenwert und den Eigenvektor dazu:
$$\lambda_1 = 5 + 4 i, v_1 = \begin{pmatrix} 3 -4i\\ 5 \end{pmatrix}$$
Setzen es in die allg. Formel ein und wenden die Euleridentität an:
$$\begin{aligned} e^{(5 + 4i)t} \begin{pmatrix} 3 -4i\\ 5 \end{pmatrix} \\ = e^{5t}e^{4it} \begin{pmatrix} 3 -4i\\ 5 \end{pmatrix}\end{aligned} \\= e^{5t}(\cos 4t + i \sin 4t)\begin{pmatrix} 3 -4i\\ 5 \end{pmatrix}$$
Ausmultiplizieren:
$$e^{5t}\begin{pmatrix} 3 \cos 4t + 4 \sin 4t +i(3 \sin 4t - 4 \cos 4t)\\ 5 \cos 4 t + i( 5 \sin 4t)\end{pmatrix}$$
Trennen nun die reellen und imaginär Anteile. Hier C_1 und C_2 davor. C_2 enthält i, deswegen fällt i weg.
Man kann wie oben auf den Bildern, c1 und c2 bestimmen, aber es reicht einfach auswendig zulernen, dass hier die beiden konstanten hinzu kommen.
$$\vec{x}(t) = e^{5t}\left(c_1\begin{pmatrix} 3 \cos 4t + 4 \sin 4t \\ 5 \cos 4 t \end{pmatrix} + c_2 \begin{pmatrix} 3 \sin 4t - 4 \cos 4t\\ 5 \sin 4t \end{pmatrix} \right)$$
A.W.B einsetzen:
$$c_1\begin{pmatrix} 3 \\ 5 \end{pmatrix} + c_2 \begin{pmatrix} - 4 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 \\ 5 \end{pmatrix}$$
C_1 und C_2 bestimmen und oben einsetzen und zusammenfassen:
$$\begin{aligned}\vec{x}(t) = e^{5t} \begin{pmatrix}5\cos 4t+\dfrac{5}{2}\sin 4t\\ 5\cos 4 t-\dfrac{5}{2}\sin 4t\end{pmatrix}\end{aligned}$$
mfg
