Wie Beweise ich rechnerisch Punktsymmetrie zum Ursprung der Funktion ax^3..?

Question

 

Ich habe die allgemeine Funktionsvorschrift. 

f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d 

Jetzt das Szenario : Die gesuchte Funktion ist Punktsymmetrisch zum Ursprung. 

Man könnte jetzt einfach sagen alle gerade Exponenten weg, aber wie beweise ich das rechnerisch ? 

f(x) = ax^3 + bx ? 

Wie kann man das argumentieren?

Danke !

Answer 1

Hi,

für Punktsymmetrie gilt

-f(-x) = f(x)

Für Summanden mit geradem Exponeten ist das aber nicht erfüllt, da i.A.

-(-x^{2n}) = -x^{2n} ≠ x^{2n}

Damit schon klar?

Grüße

Comments

Danke, aber warum -f(-x) = f(x) ?

Was ist denn dann f(-x) = -f(x)? 

Ich bin Grade überfordert. 

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Das ist beides identisch. Das muss gelten, damit eine Punktsymmetrie vorliegt ;). Vom Ursprung aus, wird ja nicht nur der x-Wert verdreht (aus x mach -x), sondern auch der Funktionswert y (aus f(x) mache -f(x)). Das beides ergibt -f(-x) (aus f(x) mach -f(-x)) ;).

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Oh Mann  natürlich.  Beim ersten sind alle Bedingungen gegeben und rechts der Funktionswert. Beim zweiten ist das quasi aufgeteilt in x und f(x). 

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Ich konnte Dir jetzt nicht ganz folgen. Sprichst Du von

-f(-x) = f(x)

und

-f(x) = f(-x)?

Da wurde nur folgendes gemacht:

-f(-x) = f(x)   |*(-1)

f(-x) = -f(x)

Ist ja nur eine Gleichung, die umgeformt wurde.

Ich nehme gerne ersteres. Hier wird klar:

- Man hat die Funktion f(x)

- Diese wird nun bezüglich der x-Achse gespiegelt (deswegen -x) und bzgl der y-Achse (deswegen das - vor f)

;)

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Danke ! Ich hab es jetzt verstanden. Kein Mensch hat mir das gesagt das -f(-x) = f(x) auch geht. Aber das erste ist definitiv einfacher nachzuvollziehen. Jetzt bin ich aber ein bisschen sauer auf meine Lehrerin. 

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Letzteres ist auch eine übliche Schreibweise. Um ehrlich zu sein, weiß ich gar nicht wo das herkommt. Bzw. was der Sinn dahinter sein soll. Nehme gerne/meist das von mir vorgestellte ;).

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Nehm ich jetzt auch. Den Beweis habe ich auch jetzt errechnet ^^

Answer 2

x^3 ist punktsymmetrisch weil (-x)^3 = - x^3

x ist punktsymmetrisch weil (-x) = - x

Das Produkt eines punktsymmetrischen Terms mit einer reellen Zahl ist wieder punktsymmetrisch.

Die Summe zweier punktsymmetrischer Terme ist wieder punktsymmetrisch.

Beiweise notfalls die aufgestellten Behauptungen.

Wir haben damals noch solche Sachen in der Schule gelernt. Heute wird darüber meist hinweg gegangen und im Zweifel soll der ganze Term geprüft werden.

f(-x) = a*(-x)^3 + b*(-x) = -a*x^3 - b*x = -(a*x^3 + b*x) = - f(x)

Comments

Danke ! Ich finde es wichtig das man nicht stur Sachen auswendig lernt, sondern die Sachen  versteht. So soll Mathe sein. 

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Deswegen darfst du gerne die aufgestellten Behauptungen beweisen. 

Zitat: "Beiweise notfalls die aufgestellten Behauptungen."

Wir haben die damals in der Schule auch nicht auswendig gelernt sondern alle hergeleitet!

Answer 3

zu Punktsymmetrie und der Aussage
f ( x ) = - f ( -x ) kannst du dir meinen
Kommentar unter smittys Antwort
anschauen

https://www.mathelounge.de/521499/kurvendiskussion-symmetrie-nullstelle-extremstelle-wendepunkt

Bin bei Bedarf gern weiter behilflich.

Comments

Den Beweis habe ich jetzt, aber warum gilt jetzt plötzlich f(x) = -f(-x) ? 

Kannst du mich mal bitte aufklären? 

ax^3 + bx^2 + cx + d = -(a*(-x)^3 + b*(-x)^2 + c*(-x) + d

ax^3 + bx^2+cx+d = -(-ax^3 + bx^2 -cx+d)
ax^3 + bx^2 + cx + d = ax^3 - bx^2 + cx - d
bx^2 + cx + d = -bx^2 + cx- d
2bx^2 + 2d = 0
b => 0
d => 0

ax^3 + b*0^2 + cx + 0 => ax^3 + cx

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Schau mal unter 

https://de.wikipedia.org/wiki/Punktsymmetrie#Punktsymmetrie_von_Funktionsgraphen

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Für die Achsensymmetrie gilt
f ( x ) = f ( -x )
Für die Punktsymmetrie zum Ursprung gilt
f ( x ) = - f ( -x )

Die Erklärung steht unter dem oben angegebenen

https://www.mathelounge.de/521499/kurvendiskussion-symmetrie-nullstelle-extremstelle-wendepunkt

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Danke. Nach ein bisschen nachdenken hab ich es kapiert. Jetzt klappt der rechnerische Beweis und ich muss nicht mehr stumpf ungerade oder gerade Exponenten wegschmeißen:)