komplexe Zahl (negativ) Wurzel ziehen

Question

gibt es eine Regel, die mir hilft eine Wurzel aus negativ komplexen Zahlen zu ziehen?

ALso wenn z.B. Wurzel(-3)  = Wurzel(3)i (dass ist mir noch klar)

doch wie könnte ich z.B. Wurzel(-i)   oder Wurzel(-5i)      oder Wurzel(3-2i)

?

Comments

Tipp: i=e^{iπ/2}

Answer 1

mit x,y ∈ ℝ 

 (x + i·y)² = - i       ⇔    x² - y² + i · (2·x·y + 1) = 0

                             ⇔    x² - y² = 0    und  2·x·y + 1 = 0

     |x| = |y|    →   2x * x + 1 = 0   →  x² = - 1/2   keine Lösung in ℝ  

                           2x * (-x) + 1 = 0   →  x² = 1/2  →  x = 1/√2   oder  x  = -1/√2   

           →   Wurzeln   1/√2  -  1/√2 · i     und   -1/√2  +  1/√2 · i 

               weil  hier x und y verschiedenes Vorzeichen haben müssen

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Nachtrag:

Hier noch eine Anleitung für allgemeine Fälle:

Lösung der komplexen Gleichung  zⁿ = w    [ n ∈ ℕ , n ≥ 2 ]
w hat dann eine der Formen  w  =  a + i · b  = r · e^{i ·φ}  =  r · ( cos(φ) + i · sin(φ) )  [ oder w muss in eine solche umgerechnet werden ].
Den Betrag  |w| = r  und das Argument φ_w  kann man dann direkt ablesen oder aus folgenden Formeln berechnen:
$$ r = \sqrt{a^2 +b^2}\text{ } \text{ } und \text{ } \text{ } φ_w = arccos\left(\frac { a }{ r }\right) \text{ }\text{ } wenn \text{ }\text{ }b≥0 $$$$\text{ } \text{ } [ - arccos\left(\frac { a }{ r }\right)\text{ }wenn \text{ }\text{ }b<0 ] .$$Die n Werte zk  für z = n√w  erhält man mit der Indizierung k = 0,1, ... , n-1
aus der Formel  $$ z_k =  \sqrt[n]{r}· \left[ \text{ }cos\left( \frac { φ_w + k · 2π }{ n } \right)+ i · sin\left( \frac { φ_w + k · 2π }{ n }\right) \right] $$
Die Eulersche Form ist  jeweils $$z_k =  \sqrt[n]{r}· e^{\frac { φ_w + k · 2π }{ n }\text{ }·\text{ }i} $$
Gruß Wolfgang

Answer 2

$$ \sqrt[]{-i}=-(-1){}^{-\frac{3}{4}} $$ Demnach sind:$$ \sqrt[]{-5i}=-(-1){}^{-\frac{3}{4}}\cdot \sqrt[]{5}  $$ LG

Comments

 

könnten sie diesen schritt eventuell genauer erklären?

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Wahrscheinlich hat der gute Antoooooon das hier her:

https://www.wolframalpha.com/input/?i=sqrt(-i)

;)

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Ja, muss ich wirklich zugeben!

Da war ich zu voreilig, sorry!

Answer 3

wie könnte ich z.B. Wurzel(-i)   oder Wurzel(-5i)      oder Wurzel(3-2i)

Wurzel(-i)     Ansatz   (a+bi ) ^2 = -i  = 0   -   1 * i 

                          a^2 - b^2 + 2ab i =0 -1 * i 

also   a^2 - b^2  = 0   und   2ab = - 1 

                                            a = -1/ 2b 

               1 / (4b^2 ) - b^2 = 0 

                 1 -4b^4 = 0 

                        b^4 =  1/4  

             also  b=1/2    oder b= -1/2 

und damit   a = 1-/2    bzw  a = 1/2 also sind die Wurzeln

1/2 - 1/2 * i   bzw.     -1/2 + 1/2 * i 

Comments

Geht aber auch  über die Darstellung

z = |z| * ( cos(φ) + i*sin(φ).

Dann die Wurzel aus |z| ziehen und den halben Winkel φ nehmen.

Also hier  z= -i wäre Betrag = 1 und Winkel  270°.

Also √z = ± 1 * (cos(135°) + i * sin(135°) ) .

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(1/2 - 1/2·i)²  =  -i/2

zu welcher der Fragen soll das passen? 

Answer 4

Diese Formel ist allgemeingültig ,insbesondere für komplizierte Ausdrücke: