Steckbriefaufgabe 3grades

Question

Bestimmen Sie den Term der ganzrationalen Funktion dritten Grades deren Graph bei -2 die x-Achse schneidet und bei 0 eine Wendestelle hat. Wendetangente dort ist Graph der Funkton t mit   t(x)=1/3x+2: D(t)0 IR

Daraus folgt:

f(0)=0                ( Wendestelle hat ja den  P(0/0) )

f(-2)=0               ( Schneidet die x-Achse somit ist y=0)

f´´(0)=0              (2te Ableitung ergibt mit dem x-Wert = 0  y=0)

f´(0)=1/3            (im Punkt (0/0) ist eine steigung von 1/3 gegeben also erste Ableitung x=0 y= 1/3)

Wäre dies richtig ?

Danke für die Hilfe im voraus

Answer 1

Bestimmen Sie den Term der ganzrationalen Funktion dritten Grades deren

Graph bei -2 die x-Achse schneidet und bei 0 eine Wendestelle hat.

Wendetangente dort ist Graph der Funkton t mit   t(x)=1/3x+2: D(t)0 IR
Daraus folgt:

f(0)=0                ( Wendestelle hat ja den  P(0/0) )

                        Setze 0 bei t ein, gibt t(0)=2 also P(0/2) also f(0)=2.

f(-2)=0               ( Schneidet die x-Achse somit ist y=0)   OK

f´´(0)=0              (2te Ableitung ergibt mit dem x-Wert = 0  y=0)   OK

f´(0)=1/3   OK         (im Punkt (0/2) ist eine steigung von

                       1/3 gegeben also erste Ableitung  bei  x=0

                              ist  y ' = 1/3)

Comments

Hatte einen Gedankenfehler !

Danke für deine Antwort und Zeit :)

Answer 2

f(0)=0                ( Wendestelle hat ja den  P(0/0) ) Nein, gegeben ist zunächst nur die Stelle x=0. Mit Hilfe der gegebenen Gleichung der Wendetangente kann man den Wert an dieser Stelle finden.

f(-2)=0              ( Schneidet die x-Achse somit ist y=0)

f´´(0)=0              (2te Ableitung ist an der Stelle x=0 ebenfalls 0)

f´(0)=1/3            (im Punkt (0/0) ist eine Steigung von 1/3 gegeben also erste Ableitung x=0 y= 1/3).Der Punkt (0|0) liegt offensichtlich nichr auf der Wrndetangente.

Comments

!!!

Ohman stimmt ja . x=0 heißt ja nicht automatisch y=0

Kleiner Gedankenfehler.

Danke für deine Antwort und Zeit :)

Answer 3

dazu gibt es Online Rechner:

http://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/steckbrief.htm

Comments

Ich weiß aber hier kann man erklären wie man darauf gekommen ist um dann den Gedankengang kontrollieren zu lassen .

Aber trotzdem danke für die Information

Answer 4

Die Aussagen über die Funktion sind

f (-2) = 0    ( schneidet die x-Achse         
f ( 0 ) = 2   ( t ( x ) = 1/3 * x + 2...
f ´ ( 0 ) = 1/3  ( t ( x ) = 1/3 * x + 2...
f ´´ ( 0  ) = 0   ( Wendestelle x = 0...

Zur Kontrolle   

f ( x ) = 1/6 * x^3 + 1/3 * x + 2

Bei Bedarf wieder melden.

Comments

Danke für deine Anwtort und Zeit.

---

Gern geschehen.
Falls du weitere Fragen hast dann stelle
sie wieder ein.

Answer 5

Man kann hier den Ansatz

$$ f(x) = ax^3 + t(x) $$ verwenden. Der Grund liegt zum einen darin, dass x=0 die Wendestelle ist (der Wendepunkt also auf der y-Achse liegt), so dass der Parameter b null sein muss und der quadratische Summand daher verschwindet. Zum anderen ist t(x) die Tangente an der Stelle x=0, also die beste lineare Näherung dort. Einsetzen von t(x) ergibt

$$ f(x) = ax^3 + \dfrac13 x + 2 $$Mit \(f(-2)=0\) folgt bereits im Kopf \(a=1/6\) und wir erhalten

$$ f(x) = \dfrac16 x^3 + \dfrac13 x + 2 $$als Lösung.

Comments

Also wenn ich das jetzt Richtig verstanden habe ist in einer Funktion x²=0 wenn die y-Achse einen Wendepunkt hat ? Also wenn dieser genau aufliegt.

Und die 1/3x setzt man ein da 1/3x bei der Tangentengleichung das selbe ist wie der x-Wert einer Funktion. Und die 2 halt der y achsenabschnitt.

Aber mit dem "f(-2)=0 folgt bereits im kopf a=1/6" kann ich nicht viel anfangen ! Also weiß nicht wie man im Kopf schon auf den Wert 1/6 kommen könnte.

-2 *(-2)*(-2)= -8a

Danke für deine Zeit und diesen doch etwas komplexen Tipp für mich.

---

Wenn man weiß, dass eine ganzrationale Funktion an der Stelle x=0 einen Wendepunkt besitzt, dann muss in der Polynomdarstellung der quadratische Term verschwinden. Dies liegt daran, dass die zweite Ableitung an der Stelle x=0 null werden muss.

---

In einer Polynomfunktion der Form $$ y = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + \dots + a_3x^3 + a_2x^2 + a_1x + a_0 $$ist $$y = a_1x + a_0 $$jeweils die Tangente an der Stelle x=0.

---

Ah ok danke. Habs nun verstanden

Könnten Sie mir auch sagen warum bei der Funktion: x^4+x^2-20 nur ein Tiefpunkt vorliegt und sonst nichts außer den 2 Nullstellen ? .

Ich meine es ist eine hoch4 funktion ist aber mit einer quadratischen zu verlgleichen ! Also für mich sieht es zumindest so aus

---

In der Nähe von \(x=0\) verhält sich \(f\) wie die quadratische Parabel \(y=x^2-20\), falls du das meinst, hast du recht. Da \(f\) aber global wie \(y=x^4\) verläuft und außerdem symmetrisch zur y-Achse liegt, bleibt kein Spielraum für weitere Extrempunkte.