Ski - Cross - Parcours

Question

Das Höhenprofil des ersten Abschnitts eines Ski-Cross-Parcours wird durch die ganzrationale Funktion f(x)= -1/100x^3+ 3/4x (-10<x<10) beschrieben (1LE=10m)

A) Ermitteln Sie den Höhenunterschied zwischen dem Punkt A (-10/y) und dem tiefsten Punkt B des ersten Abschnitts.

B) Wie groß ist das durchschnittliche Gefälle zwischen den Punkten A und B?

C) Wie groß ist der Winkel α, unter dem der Fahrer im Ursprung fährt

D) Das Profil wird auf dem zweiten Abschnitt 0<x<10 fortgesetzt durch die Funktion g(x)=3/400x^3-3/20x^2+3/4.

E) Wo ist die Steigung von g maximal?

F) Ermitteln Sie den Wendepunkt von g.

G) Beschreiben Sie das Krümmungsverhalten der gesamten Bahn.

Comments

Ich hege Zweifel an der Richtigkeit der
Funktion
g(x)= 3/400x^3 - 3/20x^2 + 3/4
g ( 0 ) = 3/4
Die Skizze zeigt
g ( 0 ) = 0

Ich vermute einmal  g könnte
g(x)= 3/400x^3 - 3/20x^2 + 3/4 * x
lauten ?

Answer 1

Das Höhenprofil des ersten Abschnitts eines Ski-Cross-Parcours wird durch die ganzrationale Funktion f(x)= -1/100x3+ 3/4x (-10<x<10) beschrieben (1LE=10m)

A) Ermitteln Sie den Höhenunterschied zwischen dem Punkt A (-10/y) und dem tiefsten Punkt B des ersten Abschnitts.    

f ' (x) = -3x^2 /100 + 3/4  = 0 

                   <=>   x = ± 5

Also B=(-5 ; -2,5 )    und  A = ( -10 ; 2,5) ==> Höhenunterschied  - 5.

B) Wie groß ist das durchschnittliche Gefälle zwischen den Punkten A und B?

m = -5 / 5 = -1 = -100%

C) Wie groß ist der Winkel α, unter dem der Fahrer im Ursprung fährt 

tan(α) = f ' (0) ==>   tan(α) = 0,75  ==>  α=36,9°

Mach doch mal Vorschläge für den Rest.

Answer 2

A) Erste Nullstelle x₁ der Ableitung finden, |f(10) - f(x₁)| berechnen

B) durchschnittliches Gefälle ist (f(10) - f(x₁))/(10 - x₁).

C) tan^-1(f'(0))

D) Warum hat man es nicht einfach bei f(x) gelassen? Viel Spaß beim Schaufeln!

E) Dort wo das Maximum der Zahlen g'(0), g'(10), g'(x₂) liegt, wobei x₂ die Wendestelle von g ist (sofern diese zwischen 0 und 10 liegt).

F) Siehe E.

G) Das kann sich bei 0 und an Wendepunkten ändern. Bestimme es exemplarisch zwischen diesen Stellen indem du eine  Stelle des Abschnittes in die zweite Ableitung einsetzt. Größer als Null: linksgekrümmt, kleiner als Null: rechtsgekrümmt.