Bestimmen Sie die Gleichung einer ganzrationalen Funktion dritten Grades, deren Graph in P(1|4) einen Extrempunkt …

Question

Aufgabe:

b) Bestimmen Sie die Gleichung einer ganzrationalen Funktion dritten Grades, deren Graph in P(1|4) einen Extrempunkt und in Q (0|2) einen Wendepunkt hat.

Problem/Ansatz:

Wie löst man diese Aufgabe ?

Comments

gelöschter Kommentar.

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Die Lösung des Systems ist also das Paar

Nö.

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Ist weder ein Paar noch stimmt das Ergebnis zahlenmäßig. Wie die Probe leicht gezeigt hätte.

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Was soll da denn falsch sein? Ich habe es ausprobiert, das passt.

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Leg mal Deine Probe vor.

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Habe es gesehen, hatte die 4 an bei der Gleichung übersehen. Ist jetzt korrigiert und richtig. Danke für die Anmerkung.

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Was ist denn das jetzt für eine Masche, die Antwort zu einem Kommentar zu machen, zu entfernen und dann neuzuschreiben !? Jetzt stehen hier unnötige Kommentare, deren Kontext vollkommen fehlt.

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Imagepflege - sieht dann so aus, als wäre die Antwort unten von Anfang an fehlerfrei gewesen.

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Es sieht einfach unschön aus, wenn da so viel Irrsinniges darunter steht. Übrigens verwirrt es meiner Meinung nach den FS sogar mehr.

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Ach und hier oben sehen die Kommentare nicht unschön aus? Es ist doch völlig in Ordnung, wenn unter der Antwort Kommentare stehen, solange die Antwort im Anschluss korrigiert wurde...

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Klar sieht das hier jetzt auch nicht gut aus, aber der FS wird ja warscheinlich eher an den ,,richtigen‘‘ Antworten unten interessiert sein.

Answer 1

Stelle vier Gleichungen auf, welche die Beschreibung der Funktion abbilden.

f(1) = 4
f '(1) = 0
f(0) = 2
f ''(0) = 0

Löse das Gleichungssystem.

Die Lösung sind die gesuchten Koeffizenten a, b, c und d von f(x) = ax³ + bx² + cx + d

Answer 2

Es gibt hier im Forum unzählige Beispiele dazu.

Kurz: Allg. Ansatz für die Funktion, dieser hat vier Unbekannte.

Heißt: Du brauchst 4 Bedingungen. Die hast Du, denn Du hast zwei Funktionswerte und zwei Ableitungswerte gegeben. Setze alles ein, und löse das LGS mit 4 Gleichungen und 4 Unbekannten.

Versuch mal selbst, bevor hier ein Antworter Dir hier alles im Detail vorrechnet und Dir das Erfolgserlebnis nimmt.

Answer 3

b) Bestimmen Sie die Gleichung einer ganzrationalen Funktion dritten Grades, deren Graph in P\((1|4)\) einen Extrempunkt und in Q \((0|2)\) einen Wendepunkt hat.

Hieraus folgt, dass in N\((-1|0)\) auch ein Extremwert ist, da ein Wendepunkt bei einer ganzrationalen Funktion 3. Grades Punktsymmetrie bewirkt.

Bei \(x=-1\) ist eine doppelte Nullstelle.

\(f(x)=a[(x+1)^2(x-N)]\)

\(f'(x)=a[(2x+2)(x-N)+(x+1)^2]\)

\(f''(x)=a[2\cdot(x-N)+(2x+2)+(2x+2)]=a[2\cdot(x-N)+4x+4]\)

Q \((0|...)\) Wendepunkteigenschaft:

\(f''(0)=a[2\cdot(0-N)+4]=0\)

\(N=2\):

\(f(x)=a[(x+1)^2(x-2)]\)

P\((1|4)\):

\(f(1)=a[(1+1)^2(1-2)]=4\)

\(a=-1\):

\(f(x)=-(x+1)^2(x-2)\)

Comments

Ich denke deine Antwort ist überflüssig für den Fragesteller. Es geht hier um was anderes.

Answer 4

Hallo.

Ich habe für dich mal alles vorgemacht. Schaue dir genau die Schritte an und versuche es logisch nachvollziehen zu können. Falls etwas unklar ist, frage gerne.

Wir suchen eine polynomiale Funktion f mit deg(f) = 3 (Grad 3), welcher im Punkt (1,4) extremal und dessen Ableitungspolynom f’ im Punkt (0,2) extremal sein soll (Ein Wendepunkt ist ja ein Extrempunkt der ersten Ableitungsfunktion).

Sei also f : |R —> |R, f(x) := ax^3 + bx^2 + cx + d mit unbekannten Koeffizienten a,b,c,d ∈ |R das Polynom, welches den obigen vier Bedingungen genügen soll.

1. Schritt (Die vier Bedingungen aufstellen)

1) Da (1,4) ein Extrempunkt von f ist, gilt einmal f’(1) = 0 (Bemerke: 1 ist eine Extremstelle von f und insbesondere damit auch ein kritischer Punkt, wo die Ableitung verschwindet).

2) Vorallem gilt ja auch unabhängig davon, da f durch (1,4) verlaufen soll, die zweite Gleichheit f(1) = 4.

3) Nun ist also (0,2) ein Wendepunkt von f, d.h. ein Extrempunkt der ersten Ableitung f’ mit f’(x) = 3a x^2 + 2b x + c. Da also die Zahl 0 eine Extremstelle von f’ ist, gilt f’’(0) = 0, wobei f’’ mit f‘‘(x) = 6a x + 2b die zweite Ableitung von f ist.

4) Zuletzt gilt noch, da ja auch (0,2) ein Punkt des Graphen von f ist, die vierte und letzte Gleichheit f(0) = 2.

2. Schritt (Lineares Gleichungssystem lösen)

Wir erhalten also das inhomogene lineare Gleichungssystem in vier Unbekannten:

2 = f(0) = a*0^3 + b*0^2 + c*0 + d = d
0 = f’’(0) = 6a*0 + 2b = 2b
0 = f’(1) = 3a*1^2 + 2b*1 + c = 3a + 2b + c
4 = f(1) = a*1^3 + b*1^2 + c*1 + d = a+b + c + d

Nach der ersten Gleichung erhalten wir direkt dad d = 2 ist und aus der zweiten folgt b = 0. Einsetzen in die dritte und vierte Gleichung liefert das neue inhomogene lineare Gleichungssystem in zwei Unbekannten:

3a + c = 0
a + c = 2

Es gilt c = -3a nach der neuen ersten Gleichung. Einsetzen in die neue zweite Gleichung liefert a = -1. Das setzten wir dann noch zuletzt in die erste Gleichung ein und erhalten c = 3.

Die Lösung des linearen Gleichungssystems ist damit der Vektor

(a, b, c, d)^T = (-1, 0, 3, 2)^T ∈ |R^4.

3. Schritt (Vorschrift für Funktion aufstellen)

Unsere Polynomfunktion f : |R —> |R, welche die obigen Besingungen erfüllen soll, hat also die Vorschrift: f(x) = -x^3 + 3x + 2.

Answer 5

f(x) = ax^3+bx^2+cx+d

f '(x) = 3ax^2+2bx+c

f ''(x) = 6ax+2b

f(1)= 4

1.a+b+c+d= 4

f '(1)= 0

2. 3a+2b+c= 0

3. f(0)= 2

d= 2

f ''(0) = 0

4.b=0

1': a+c+ 2= 4 -> a+c= 2 -> c= 2-a

2': 3a+2-a = 0

2a= -2

a= -1

c= 3

f(x) = -x^3+3x+2