Hallo.
Ich habe für dich mal alles vorgemacht. Schaue dir genau die Schritte an und versuche es logisch nachvollziehen zu können. Falls etwas unklar ist, frage gerne.
Wir suchen eine polynomiale Funktion f mit deg(f) = 3 (Grad 3), welcher im Punkt (1,4) extremal und dessen Ableitungspolynom f’ im Punkt (0,2) extremal sein soll (Ein Wendepunkt ist ja ein Extrempunkt der ersten Ableitungsfunktion).
Sei also f : |R —> |R, f(x) := ax^3 + bx^2 + cx + d mit unbekannten Koeffizienten a,b,c,d ∈ |R das Polynom, welches den obigen vier Bedingungen genügen soll.
1. Schritt (Die vier Bedingungen aufstellen)
1) Da (1,4) ein Extrempunkt von f ist, gilt einmal f’(1) = 0 (Bemerke: 1 ist eine Extremstelle von f und insbesondere damit auch ein kritischer Punkt, wo die Ableitung verschwindet).
2) Vorallem gilt ja auch unabhängig davon, da f durch (1,4) verlaufen soll, die zweite Gleichheit f(1) = 4.
3) Nun ist also (0,2) ein Wendepunkt von f, d.h. ein Extrempunkt der ersten Ableitung f’ mit f’(x) = 3a x^2 + 2b x + c. Da also die Zahl 0 eine Extremstelle von f’ ist, gilt f’’(0) = 0, wobei f’’ mit f‘‘(x) = 6a x + 2b die zweite Ableitung von f ist.
4) Zuletzt gilt noch, da ja auch (0,2) ein Punkt des Graphen von f ist, die vierte und letzte Gleichheit f(0) = 2.
2. Schritt (Lineares Gleichungssystem lösen)
Wir erhalten also das inhomogene lineare Gleichungssystem in vier Unbekannten:
2 = f(0) = a*0^3 + b*0^2 + c*0 + d = d
0 = f’’(0) = 6a*0 + 2b = 2b
0 = f’(1) = 3a*1^2 + 2b*1 + c = 3a + 2b + c
4 = f(1) = a*1^3 + b*1^2 + c*1 + d = a+b + c + d
Nach der ersten Gleichung erhalten wir direkt dad d = 2 ist und aus der zweiten folgt b = 0. Einsetzen in die dritte und vierte Gleichung liefert das neue inhomogene lineare Gleichungssystem in zwei Unbekannten:
3a + c = 0
a + c = 2
Es gilt c = -3a nach der neuen ersten Gleichung. Einsetzen in die neue zweite Gleichung liefert a = -1. Das setzten wir dann noch zuletzt in die erste Gleichung ein und erhalten c = 3.
Die Lösung des linearen Gleichungssystems ist damit der Vektor
(a, b, c, d)^T = (-1, 0, 3, 2)^T ∈ |R^4.
3. Schritt (Vorschrift für Funktion aufstellen)
Unsere Polynomfunktion f : |R —> |R, welche die obigen Besingungen erfüllen soll, hat also die Vorschrift: f(x) = -x^3 + 3x + 2.
