Aufgabe:
Gegeben sei das Vektorfeld \( \vec{F}(x, y)= \) \( \left(2 x y, x^{2}+y^{2}\right) \) und der Viertelkreis \( V \) im \( \mathbb{R}^{2} \) \( V=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} \mid x^{2}+y^{2} \leq 4, x \geq 0, y \geq 0\right\} \)
Berechnen Sie das Flächenintegral \( \int \limits_{V} \operatorname{div} \vec{F}(x, y) d(x, y) \) direkt und mit Hilfe des Satzes von Gauß
\( \begin{array}{l} \int \limits_{V} \operatorname{div} \vec{F}(x, y) d(x, y)= \\ \int \limits_{\partial V}\langle\vec{F}(x, y), \vec{n}(x, y)\rangle \operatorname{df}(x, y) \end{array} \)
Problem/Ansatz:
bei LHs habe ich \( 32 / 3 \) raus, jedoch habe ich bei RHS Probleme und bekomm 40/3 raus, daher meine Frage rechne ich die rechte Seite einfach falsch?
\( \begin{array}{l} \oint \vec{F} \vec{n} d s=\int \limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}\binom{2 r^{2} \cos t \sin t}{r^{2} \cos ^{2} t+r^{2} \sin ^{2} t}\binom{r \cos t}{r \sin t} \frac{1}{r} r d t \\ =\int \limits_{0}^{\frac{\pi}{2}} 2 r^{3} \cos ^{2} t \sin t d t+\int \limits_{0}^{\frac{\pi}{2}} r^{3} \sin t d t \\ =2 r^{3}\left[-\frac{\cos ^{3} t}{3}\right]_{0}^{\frac{\pi}{2}}+r^{3}[-\cos t]^{\frac{\pi}{2}} \\ =\frac{2}{3} r^{3}+r^{3}=\frac{5}{3} r^{3} \operatorname{mit} r=2 \Rightarrow \frac{5}{3} \cdot 2^{3}=\frac{40}{3} \neq \frac{32}{3} \end{array} \)
