Kosten und Gewinn.xxxxxxx

Question

Der Hersteller gibt die Produktionskosten bei der Herstellung einer innovativen Uhr an für 0<x<800 mit K(x)=0,001x^3 -0,9x^2 +150x +7200 

(x: Anzahl der produzierten Uhren pro Tag; K(x): Produktionskosten pro Tag).

A) Wie hoch sind die Kosten für eine Uhr bei einer Produktion von 500 Uhren pro Tag ?

B) Untersuchen Sie die Funktion K auf  Extrema.

C) Bestimmen Sie den Wendepunkt von K.

D) Der Verkaufspreis der Uhr wird auf 150€ festgelegt. Die mittleren täglichen Einnahmen der Firma betragen somit E(x)=150x. Ermittel Sie ab welcher Tagesstückzahl x der Hersteller einen Gewinn erwirtschaftet.

E) Bei welcher Tagesstückzahl x istder Gewinn am größten ?

Answer 1

zur b)

Erste Ableitung bilden:

0,001x^3 -0,9x^2 +150x +7200=0      :0.001

x^3-900x^2+150000x+720000=0

Erste Ableitung:

f'(x)=3x^2-1800x+150000

Davon jetzt die Nullstellen mit der Mitternachtsformel/PQ-Formel:$$ x=\frac{-b\pm\sqrt[]{b^2-4ac}}{2a} $$ Einsetzen:$$ {x}_{1,2}=\frac{1800\pm\sqrt[]{1800^2-4 \cdot 3 \cdot 150000}}{2 \cdot} = {x}_{1}=100 \quad {x}_{2}=500  $$ Dann diese in die Stammfunktion einsetzen:$$f(100)=0.001 \cdot 100^3-0.9 \cdot 100^2+150 \cdot 100+7200=14200 $$ Also Hochpunkt bei (100|14200). $$f(500)=0.001 \cdot 500^3-0.09 \cdot 500^2+150 \cdot 500+7200=-17800 $$ Also Tiefpunkt (500|-17800).

Liebe Grüße